1. João e José disputam um jogo em que João tem probabilidade p, 0<p<1, de sair vencedor em cada partida. Quem perde paga \mathrm{R} \ 1 ao vencedor em cada partida. Se João inicia o jogo com R\ã 2 e José com R$1, qual será a duração esperada do jogo se eles pararem quando um deles tiver \mathrm{R} \3$ ?

Passo 1

O problema é um caso clássico de “ruína do jogador” (gambler’s ruin): João e José têm, respectivamente, 2 e 1 real, somando sempre 3, e apostam R$ 1 em cada partida; João vence cada partida com probabilidade p e, quem perde, transfere R$ 1 ao vencedor. O jogo termina quando um deles fica com R$ 3 (isto é, quando João atinge capital 3 ou 0). Precisamos calcular a duração esperada até a absorção a partir do estado inicial i=2. Vamos usar a equação de recorrência para a esperança de tempo de absorção.

Passo 2

Denote q = 1-p e seja E_i a esperança do número de partidas até a absorção, dado que João tem i reais. As condições de contorno são
E_0 = 0,\qquad E_3 = 0
porque, se João já tiver 0 ou 3, o jogo acabou. Para i=1,2 vale a recorrência
E_i \;=\; 1 \;+\; p\,E_{i+1}\;+\;q\,E_{i-1}.

Passo 3

Essa é uma recorrência linear de segunda ordem não-homogênea. A parte homogênea
E_i^{(h)} \;-\;p\,E_{i+1}^{(h)}\;-\;q\,E_{i-1}^{(h)}=0
tem solução geral E_i^{(h)}=C+D\bigl(\tfrac{q}{p}\bigr)^i. Uma solução particular pode ser escolhida da forma -i/(q-p). Logo a solução geral é
E_i \;=\; -\frac{i}{q-p} \;+\; C \;+\; D\Bigl(\frac{q}{p}\Bigr)^i.

Passo 4

Impondo E_0=0
0 = -\frac{0}{q-p} + C + D \quad\Longrightarrow\quad C = -D,
e impondo E_3=0
0 = -\frac{3}{q-p} + C + D\Bigl(\frac{q}{p}\Bigr)^3 = -\frac{3}{q-p} - D + D\Bigl(\frac{q}{p}\Bigr)^3.
Dessa equação resolve-se D, e então C=-D. Substituindo em i=2 e simplificando (com q=1-p) obtém-se
E_2 \;=\;\frac{2-p}{\,p^2 - p + 1\,}.

Resposta

\text{A duração esperada é }E_2 = \frac{2-p}{p^2 - p + 1}.çãé

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