- João e José disputam um jogo em que João tem probabilidade
, de sair vencedor em cada partida. Quem perde paga
1
2 e José com R$1, qual será a duração esperada do jogo se eles pararem quando um deles tiver
3$ ?
Passo 1
O problema é um caso clássico de “ruína do jogador” (gambler’s ruin): João e José têm, respectivamente,
e
real, somando sempre
, e apostam R$
em cada partida; João vence cada partida com probabilidade
e, quem perde, transfere R$
ao vencedor. O jogo termina quando um deles fica com R$
(isto é, quando João atinge capital
ou
). Precisamos calcular a duração esperada até a absorção a partir do estado inicial
. Vamos usar a equação de recorrência para a esperança de tempo de absorção.
Passo 2
Denote
e seja
a esperança do número de partidas até a absorção, dado que João tem
reais. As condições de contorno são
porque, se João já tiver
ou
, o jogo acabou. Para
vale a recorrência
Passo 3
Essa é uma recorrência linear de segunda ordem não-homogênea. A parte homogênea
tem solução geral
. Uma solução particular pode ser escolhida da forma
. Logo a solução geral é
Passo 4
Impondo
dá
e impondo
dá
Dessa equação resolve-se
, e então
. Substituindo em
e simplificando (com
) obtém-se