João e Maria são namorados e um queria fazer uma surpresa para o outro, comprando ingressos para um espetáculo no teatro municipal. Admita que eles chegaram para comprar os ingressos, em algum instante de uma mesma
tarde em que a bilheteria abriria às 18 horas. No momento de abertura das vendas existia um total de
pessoas na fila (incluindo os dois). Pergunta-se a probabilidade de os dois:
a. Estarem separados na fila por
pessoas
?
b. Se encontrarem no momento da chegada à fila da bilheteria?
tarde em que a bilheteria abriria às 18 horas. No momento de abertura das vendas existia um total de
a. Estarem separados na fila por
b. Se encontrarem no momento da chegada à fila da bilheteria?
Passo 1
Resumindo: temos
pessoas em fila, entre elas João e Maria, e todas as ordens são igualmente prováveis. Queremos (a) a probabilidade de existirem exatamente
pessoas entre eles e (b) a probabilidade de ficarem lado a lado (isto é, “se encontrarem” na fila). Para isso vamos usar contagem de casos favoráveis em função de combinações.
Passo 2
Para que João e Maria estejam separados por exatamente
pessoas, basta escolher duas posições
na fila tais que
Como
pode variar de
até
, existem
valores possíveis para
. Logo, o número de pares
com essa propriedade é
Passo 3
O espaço amostral (todas as maneiras de posicionar João e Maria entre
lugares) corresponde ao número de pares não ordenados de posições, isto é
Passo 4
A probabilidade de haver exatamente
pessoas entre eles é
Passo 5
Para que eles “se encontrem” na fila, isto é, fiquem lado a lado, basta usar
. Assim
Resposta
(a)
.
(b) .
(b)