João e Maria são namorados e um queria fazer uma surpresa para o outro, comprando ingressos para um espetáculo no teatro municipal. Admita que eles chegaram para comprar os ingressos, em algum instante de uma mesma
tarde em que a bilheteria abriria às 18 horas. No momento de abertura das vendas existia um total de n pessoas na fila (incluindo os dois). Pergunta-se a probabilidade de os dois:
a. Estarem separados na fila por r pessoas (r \leq n-2) ?
b. Se encontrarem no momento da chegada à fila da bilheteria?

Passo 1

Resumindo: temos n pessoas em fila, entre elas João e Maria, e todas as ordens são igualmente prováveis. Queremos (a) a probabilidade de existirem exatamente r pessoas entre eles e (b) a probabilidade de ficarem lado a lado (isto é, “se encontrarem” na fila). Para isso vamos usar contagem de casos favoráveis em função de combinações.

Passo 2

Para que João e Maria estejam separados por exatamente r pessoas, basta escolher duas posições i<j na fila tais que
j - i - 1 = r.
Como i pode variar de 1 até n-(r+1), existem
n - (r+1)
valores possíveis para i. Logo, o número de pares (i,j) com essa propriedade é
n - r - 1.

Passo 3

O espaço amostral (todas as maneiras de posicionar João e Maria entre n lugares) corresponde ao número de pares não ordenados de posições, isto é
\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}.

Passo 4

A probabilidade de haver exatamente r pessoas entre eles é
P(r) \;=\; \frac{\text{casos favoráveis}}{\text{casos totais}} \;=\; \frac{n - r - 1}{\binom{n}{2}} \;=\; \frac{n - r - 1}{\tfrac{n(n-1)}2} \;=\; \frac{2\,(n - r - 1)}{n(n-1)}.á

Passo 5

Para que eles “se encontrem” na fila, isto é, fiquem lado a lado, basta usar r=0. Assim
P(\text{lado a lado}) = P(0) = \frac{2\,(n - 0 - 1)}{n(n-1)} = \frac{2(n-1)}{n(n-1)} = \frac{2}{n}.

Resposta

(a) \displaystyle P(r)=\frac{2\,(n - r - 1)}{n(n-1)}.
(b) \displaystyle P(\text{encontro})=\frac{2}{n}.

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