15.5.9 A média de um processo é centralizada entre os limites de especificação e P C R=1,33. Considere que a média do processo aumente por 1,5 \sigma.
a. Calcule o P C R e o P C R_{k} para o processo deslocado.
b. Calcule a fração defeituosa estimada do processo deslocado e compare seu resultado àqueles da Tabela 15.4. Admita uma distribuição normal para a medida.

Passo 1

O enunciado diz que temos um processo com média inicial centralizada entre os limites de especificação \text{LSL} e \text{USL} e índice de capacidade
C_p = 1{,}33.
Depois, a média do processo desloca-se em +1{,}5\,\sigma.
Precisamos:
a. Calcular o novo C_p e o C_{pk} do processo deslocado.
b. Calcular a fração defeituosa estimada do processo deslocado e comparar com a Tabela 15.4 (assumindo normalidade).

Passo 2

Como o processo inicial está centralizado, temos
\text{USL}-\text{LSL} = 6\,\sigma \,C_p = 6\,\sigma \times 1{,}33 = 7{,}98\,\sigma.

Passo 3

O índice C_p não muda com deslocamento de média, pois só depende da largura da especificação e da variabilidade. Logo, para o processo deslocado,
C_p = 1{,}33.

Passo 4

Para C_{pk} usamos a definição
C_{pk} = \min\biggl(\frac{\text{USL}-\mu}{3\,\sigma},\,\frac{\mu-\text{LSL}}{3\,\sigma}\biggr).
Se a média original era \mu_0 e \text{USL}=\mu_0+3{,}99\,\sigma, \text{LSL}=\mu_0-3{,}99\,\sigma, então a nova média é \mu_1 = \mu_0 + 1{,}5\,\sigma.
As distâncias são
\text{USL}-\mu_1 = (\mu_0+3{,}99\,\sigma)-(\mu_0+1{,}5\,\sigma)=2{,}49\,\sigma,
\mu_1-\text{LSL} = (\mu_0+1{,}5\,\sigma)-(\mu_0-3{,}99\,\sigma)=5{,}49\,\sigma.
Logo,
C_{pk} = \frac{2{,}49\,\sigma}{3\,\sigma} = 0{,}83.

Passo 5

A fração defeituosa é
P(X<\text{LSL}) + P(X>\text{USL}) = P\Bigl(Z<\tfrac{\text{LSL}-\mu_1}{\sigma}\Bigr) + P\Bigl(Z>\tfrac{\text{USL}-\mu_1}{\sigma}\Bigr).
Aqui \tfrac{\text{LSL}-\mu_1}{\sigma}=-5{,}49 e \tfrac{\text{USL}-\mu_1}{\sigma}=2{,}49.
Assim,
P(Z<-5{,}49)\approx 0,\quad P(Z>2{,}49)\approx 0{,}0064,
então a fração defeituosa estimada é aproximadamente 0{,}0064 (ou 0{,}64\%).

Passo 6

Na Tabela 15.4 (que dá a fração defeituosa para vários valores de C_p e deslocamentos típicos de 1{,}5\,\sigma do Six Sigma), o valor associado a C_p=1{,}33 com shift de 1{,}5\,\sigma é cerca de 0{,}0062. Nosso resultado 0{,}0064 está em excelente acordo com a tabela.

Resposta

a. C_p = 1{,}33, \;C_{pk} = 0{,}83.
b. Fração defeituosa ≈ 0{,}0064, que coincide com o valor da Tabela 15.4 ( \approx 0,0062).

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