Um milionário excêntrico, uma vez por semana, deixa seu escritório com
milhares de reais no bolso. Ao caminhar para sua casa vai distribuindo esse dinheiro aos eventuais pedintes que encontra. Admita que
tem densidade de probabilidade
e, também que o dinheiro que lhe resta ao chegar em casa, denotado por
, tem probabilidade uniforme entre zero e o dinheiro com que deixou o escritório. Isto é,
.
a. Calcule a densidade conjunta entre
e
.
b. Determine a densidade marginal de
.
a. Calcule a densidade conjunta entre
b. Determine a densidade marginal de
Passo 1
O enunciado diz que
é a quantia (em milhares) que o milionário sai carregando do escritório, com densidade
e que, condicionado a
, o que ele traz em casa,
, é uniforme em
.
Para resolver, vamos usar a regra
Para resolver, vamos usar a regra
e depois integrar em
para obter
.
Passo 2
Como
, a densidade condicional é
e vale zero fora desse intervalo.
Passo 3
Multiplicando as densidades, obtemos a densidade conjunta
no triângulo definido por
, e zero caso contrário.
Passo 4
Para achar a densidade marginal de
, integramos em
de
até
:
válido para
, e zero fora desse intervalo.
Resposta
(a) A densidade conjunta é
para
e zero caso contrário.
(b) A densidade marginal de
é
para
e zero caso contrário.