Um milionário excêntrico, uma vez por semana, deixa seu escritório com X milhares de reais no bolso. Ao caminhar para sua casa vai distribuindo esse dinheiro aos eventuais pedintes que encontra. Admita que X tem densidade de probabilidade f_{X}(x)=\frac{x}{8} I_{(0,4)}(x) e, também que o dinheiro que lhe resta ao chegar em casa, denotado por Y, tem probabilidade uniforme entre zero e o dinheiro com que deixou o escritório. Isto é, Y \mid(X=x) \sim U_{c}[0, x].
a. Calcule a densidade conjunta entre X e Y.
b. Determine a densidade marginal de Y.

Passo 1

O enunciado diz que X é a quantia (em milhares) que o milionário sai carregando do escritório, com densidade
f_X(x)=\frac{x}{8},\quad 0<x<4,
e que, condicionado a X=x, o que ele traz em casa, Y, é uniforme em [0,x].
Para resolver, vamos usar a regra
f_{X,Y}(x,y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x)
e depois integrar em x para obter f_Y(y).

Passo 2

Como Y\mid(X=x)\sim U_{[0,x]}, a densidade condicional é
f_{Y\mid X}(y\mid x)=\frac{1}{x},\quad 0\le y\le x,
e vale zero fora desse intervalo.

Passo 3

Multiplicando as densidades, obtemos a densidade conjunta
f_{X,Y}(x,y) =\frac{1}{x}\,\frac{x}{8} =\frac{1}{8}
no triângulo definido por 0<y<x<4, e zero caso contrário.

Passo 4

Para achar a densidade marginal de Y, integramos em x de y até 4:
f_Y(y) =\int_{x=y}^{4}f_{X,Y}(x,y)\,dx =\int_{x=y}^{4}\frac{1}{8}\,dx =\frac{4-y}{8},
válido para 0<y<4, e zero fora desse intervalo.

Resposta

(a) A densidade conjunta é
f_{X,Y}(x,y)=\frac{1}{8}
para 0<y<x<4 e zero caso contrário.
(b) A densidade marginal de Y é
f_Y(y)=\frac{4-y}{8}
para 0<y<4 e zero caso contrário.

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