Seja Y \sim \operatorname{Poisson}(\lambda) e X \mid(Y=n) \sim B(n, p).
a. Calcule a função de probabilidade de X.
b. Determine a função de probabilidade condicional de Y dado X=x.

Passo 1

O enunciado define um modelo hierárquico: primeiro Y\sim\mathrm{Poisson}(\lambda) e, condicionalmente a Y=n, temos X\mid(Y=n)\sim B(n,p). O que precisamos é:
– a) a lei marginal de X (usar soma total sobre Y);
– b) a lei condicional de Y dado X=x (usar definição de probabilidade condicional).

Passo 2

Usamos a lei da probabilidade total para escrever
P(X=x) =\sum_{n=0}^{\infty}P(X=x\mid Y=n)\,P(Y=n) =\sum_{n=x}^{\infty}\binom{n}{x}p^{x}(1-p)^{\,n-x}\,\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{n}}{n!}\,.

Passo 3

Na soma acima faça a troca de variável m=n-x, de modo que n=m+x. Então
P(X=x) =e^{-\lambda}p^{x}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(m+x)!}{x!\,m!}(1-p)^{m}\frac{\lambda^{m+x}}{(m+x)!} =e^{-\lambda}p^{x}\frac{\lambda^{x}}{x!}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\bigl(\lambda(1-p)\bigr)^{m}}{m!}\,.
Como \sum_{m=0}^{\infty}\frac{\bigl(\lambda(1-p)\bigr)^{m}}{m!}=e^{\lambda(1-p)}, obtemos
P(X=x) =e^{-\lambda p}\,\frac{(\lambda p)^{x}}{x!}\,,
ou seja X\sim\mathrm{Poisson}(\lambda p).

Passo 4

Para achar P(Y=y\mid X=x) usamos
P(Y=y\mid X=x) =\frac{P(Y=y,X=x)}{P(X=x)} =\frac{P(Y=y)\,P(X=x\mid Y=y)}{P(X=x)}\,,
válido para y\ge x.

Passo 5

Substituindo as fórmulas
P(Y=y\mid X=x) =\frac{\displaystyle\frac{e^{-\lambda}\,\lambda^{y}}{y!}\,\binom{y}{x}p^{x}(1-p)^{y-x}} {\displaystyle e^{-\lambda p}\,\frac{(\lambda p)^{x}}{x!}} =\frac{e^{-\lambda(1-p)}\,[\lambda(1-p)]^{\,y-x}}{(y-x)!}\,,
que é a lei de um deslocamento: Y\mid X=x=x+Z, com Z\sim\mathrm{Poisson}\bigl(\lambda(1-p)\bigr).

Resposta

a) \displaystyle P(X=x)=e^{-\lambda p}\,\dfrac{(\lambda p)^{x}}{x!}, x=0,1,2,\dots.
b) \displaystyle P(Y=y\mid X=x)=\frac{e^{-\lambda(1-p)}\,\bigl[\lambda(1-p)\bigr]^{\,y-x}}{(y-x)!}, y=x,x+1,x+2,\dots.

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