Considere duas caixas com bolas pretas e brancas num total de três por caixa de modo que sempre as duas cores estejam presentes. As configurações possíveis são eqüiprováveis e podem ser iguais nas duas caixas.
a. Qual é a probabilidade de uma caixa, escolhida ao acaso, ter 2 bolas brancas?
b. Retirando-se, ao acaso, uma bola de cada urna, qual a probabilidade de obtermos um total de 2 brancas?
c. De uma caixa, escolhida ao acaso, uma bola é retirada ao acaso e colocada na outra caixa. Desta caixa uma bola é retirada e observa-se que é branca. Determine a probabilidade dessa bola ter sido retirada de uma caixa com número igual de bolas brancas e pretas.
a. Qual é a probabilidade de uma caixa, escolhida ao acaso, ter 2 bolas brancas?
b. Retirando-se, ao acaso, uma bola de cada urna, qual a probabilidade de obtermos um total de 2 brancas?
c. De uma caixa, escolhida ao acaso, uma bola é retirada ao acaso e colocada na outra caixa. Desta caixa uma bola é retirada e observa-se que é branca. Determine a probabilidade dessa bola ter sido retirada de uma caixa com número igual de bolas brancas e pretas.
Passo 1
O enunciado descreve duas caixas (urnas)
e
, cada uma contendo exatamente três bolas, pretas e brancas, de modo que em cada caixa há sempre pelo menos uma bola de cada cor. Logo, em cada caixa só podem ocorrer duas configurações equiprováveis de números de bolas brancas:
branca e
pretas, ou
brancas e
preta.
As escolhas das configurações em e em
são independentes e cada uma tem probabilidade
de ter 1 branca (e 2 pretas) e
de ter 2 brancas (e 1 preta).
Conteúdo: probabilidade simples e probabilidade condicionada.
As escolhas das configurações em
Conteúdo: probabilidade simples e probabilidade condicionada.
Passo 2
(a) Queremos a probabilidade de uma caixa, escolhida ao acaso entre
e
, ter
bolas brancas.
Como cada caixa, isoladamente, tem probabilidade de ter
brancas, ao escolher uma caixa ao acaso essa probabilidade permanece
Como cada caixa, isoladamente, tem probabilidade
Passo 3
(b) Retirando-se uma bola de cada caixa, queremos
.
Seja o nº de brancas em
e
o nº de brancas em
. Temos quatro casos igualmente prováveis:
, cada um com prob.
.
Dado , a chance de tirar brancas nas duas retiradas é
.
Logo
Seja
Dado
Logo
Passo 4
(c) O enunciado está ambíguo: pede a probabilidade de “essa bola ter sido retirada de uma caixa com número igual de bolas brancas e pretas”, mas cada caixa sempre tem três bolas (não há como ter igual número de brancas e pretas se o total é ímpar). Sem clarificação adicional, esse item não pode ser resolvido.
Resposta
(a)
(b)
(c) Não há informação suficiente (item ambíguo).
(b)
(c) Não há informação suficiente (item ambíguo).