Considere duas caixas com bolas pretas e brancas num total de três por caixa de modo que sempre as duas cores estejam presentes. As configurações possíveis são eqüiprováveis e podem ser iguais nas duas caixas.
a. Qual é a probabilidade de uma caixa, escolhida ao acaso, ter 2 bolas brancas?
b. Retirando-se, ao acaso, uma bola de cada urna, qual a probabilidade de obtermos um total de 2 brancas?
c. De uma caixa, escolhida ao acaso, uma bola é retirada ao acaso e colocada na outra caixa. Desta caixa uma bola é retirada e observa-se que é branca. Determine a probabilidade dessa bola ter sido retirada de uma caixa com número igual de bolas brancas e pretas.

Passo 1

O enunciado descreve duas caixas (urnas) A e B, cada uma contendo exatamente três bolas, pretas e brancas, de modo que em cada caixa há sempre pelo menos uma bola de cada cor. Logo, em cada caixa só podem ocorrer duas configurações equiprováveis de números de bolas brancas:
\;1 branca e 2 pretas, ou
\;2 brancas e 1 preta.
As escolhas das configurações em A e em B são independentes e cada uma tem probabilidade 1/2 de ter 1 branca (e 2 pretas) e 1/2 de ter 2 brancas (e 1 preta).
Conteúdo: probabilidade simples e probabilidade condicionada.

Passo 2

(a) Queremos a probabilidade de uma caixa, escolhida ao acaso entre A e B, ter \;2 bolas brancas.
Como cada caixa, isoladamente, tem probabilidade 1/2 de ter 2 brancas, ao escolher uma caixa ao acaso essa probabilidade permanece
\boxed{\tfrac12}.

Passo 3

(b) Retirando-se uma bola de cada caixa, queremos P(\text{2 brancas}).
Seja X o nº de brancas em A e Y o nº de brancas em B. Temos quatro casos igualmente prováveis:
(X,Y)=(1,1),(1,2),(2,1),(2,2), cada um com prob. 1/4.
Dado (X=i,Y=j), a chance de tirar brancas nas duas retiradas é \frac{i}{3}\cdot\frac{j}{3}.
Logo
P(\text{2 brancas}) =\sum_{i,j\in\{1,2\}}\!P(X=i,Y=j)\,\frac{i}{3}\frac{j}{3} =\frac14\Bigl(\tfrac{1\cdot1}{9}+\tfrac{1\cdot2}{9}+\tfrac{2\cdot1}{9}+\tfrac{2\cdot2}{9}\Bigr) =\frac{1+2+2+4}{36} =\frac{9}{36} =\frac14.

Passo 4

(c) O enunciado está ambíguo: pede a probabilidade de “essa bola ter sido retirada de uma caixa com número igual de bolas brancas e pretas”, mas cada caixa sempre tem três bolas (não há como ter igual número de brancas e pretas se o total é ímpar). Sem clarificação adicional, esse item não pode ser resolvido.

Resposta

(a) \tfrac12
(b) \tfrac14
(c) Não há informação suficiente (item ambíguo).

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