Mostre que é possível para uma sequência de funções de distribuição convergir em todo ponto sem o limite ser uma função de distribuição. (Sugestão. Considere as variáveis aleatórias constantes Xn= n.)

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de sequência Fn de funções de distribuição (ou seja, cada Fn é não decrescente, contínua à direita, limxto-inftyFn(x)=0 e limxto+inftyFn(x)=1) que converge ponto a ponto para alguma função F, mas tal limite F não satisfaz todas as propriedades de uma função de distribuição. Vamos usar o fato de que variáveis aleatórias constantes têm funções de distribuição em “degrau”.

Passo 2

Considere a sequência de variáveis aleatórias constantes
Cada
Note que cada e , logo é uma função de distribuição.

Passo 3

Vamos agora calcular o limite ponto a ponto de Fn. Seja xinR fixo. Para todo n>x temos x<n, logo
Fn(x)=0
Assim,
limntoinftyFn(x)=0, forall xinR
Definindo
F(x)=limntoinftyFn(x),
têm-se F(x)=0 para todo x. Embora F seja não decrescente e contínua à direita, ela falha em uma condição essencial de função de distribuição:
limxto+inftyF(x)=0neq1
Portanto, F não é uma função de distribuição.

Resposta

Tomando Xn=n e suas cdfs Fn(x)=0 se x<n, Fn(x)=1 se x>= n, obtemos limntoinftyFn(x)=0 para todo x, mas a função limite F(x)=0 não satisfaz limxto+inftyF(x)=1, logo não é uma função de distribuição.

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