Mostre que é possível para uma sequência de funções de distribuição convergir em todo ponto sem o limite ser uma função de distribuição. (Sugestão. Considere as variáveis aleatórias constantes
n.)
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de sequência
de funções de distribuição (ou seja, cada
é não decrescente, contínua à direita,
e
) que converge ponto a ponto para alguma função
, mas tal limite
não satisfaz todas as propriedades de uma função de distribuição. Vamos usar o fato de que variáveis aleatórias constantes têm funções de distribuição em “degrau”.
Passo 2
Considere a sequência de variáveis aleatórias constantes
Cada
Note que cada e
, logo é uma função de distribuição.
Passo 3
Vamos agora calcular o limite ponto a ponto de
. Seja
fixo. Para todo
temos
, logo
Assim,
Definindo
têm-se
para todo
. Embora
seja não decrescente e contínua à direita, ela falha em uma condição essencial de função de distribuição:
Portanto,
não é uma função de distribuição.
Resposta
Tomando
e suas cdfs
se
,
se
, obtemos
para todo
, mas a função limite
não satisfaz
, logo não é uma função de distribuição.