Sejam
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tais que
. Ache o limite, quando
, da função caracteristica de
onde
.
Passo 1
O enunciado nos dá variáveis aleatórias i.i.d.
com
e define
e
Queremos achar o limite, quando
, da função característica
Vamos usar a Lei Forte dos Grandes Números e o Teorema da Convergência Dominada.
Passo 2
Pela Lei Forte dos Grandes Números, temos
Como
cos(cdot) é função contínua, do Teorema da Convergência Contínua segue
Passo 3
Observe que para todo
n e todo
t vale
logo podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada e trocar limite com expectativa:
Passo 4
Como o limite interno é a constante
1 , temos