Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tais que E X1=0. Ache o limite, quando n infty, da função caracteristica de Yn=cos (Xn) onde Xn=X1+ldots+Xnn.

Passo 1

O enunciado nos dá variáveis aleatórias i.i.d. X1,X2,dots com E[X1]=0 e define
bar Xn = X1+cdots+Xnn,
e
Yn = cosl(bar Xnr)
Queremos achar o limite, quando ntoinfty, da função característica
varphiYn(t) ;=; El[e^,i t Ynr] ;=; El[e^,i t cos(bar Xn)r]
Vamos usar a Lei Forte dos Grandes Números e o Teorema da Convergência Dominada.

Passo 2

Pela Lei Forte dos Grandes Números, temos
bar Xn xrightarrowas 0
Como cos(cdot) é função contínua, do Teorema da Convergência Contínua segue
cosl(bar Xnr) xrightarrowas cos(0) = 1

Passo 3

Observe que para todo n e todo t vale
l|e^,i t cos(bar Xn)r| = 1,
logo podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada e trocar limite com expectativa:
limntoinfty varphiYn(t) = limntoinfty El[e^,i t cos(bar Xn)r] = El[limntoinfty e^,i t cos(bar Xn)r] = El[e^,i t cdot 1r]

Passo 4

Como o limite interno é a constante 1, temos
El[e^,i t cdot 1r] = e^,i t

Resposta

limntoinftyvarphiYn(t) ;=; e^,i t

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