Prove: se fracamente e é continua, então converge para uniformemente na reta.
Passo 1
O enunciado quer provar que, se converge fracamente para uma função de distribuição contínua em , então de fato
O conteúdo aqui é a teoria de convergência em distribuição (ou fraca) e o uso de monotonicidade e continuidade de F para reforçar a convergência pontual num limite uniforme.
Passo 2
Como F é monotona não decrescente, limitada (vai de 0 a 1) e contínua, segue que F é uniformemente contínua em qualquer intervalo compacto. Além disso, pelos limites em pminfty (funções de distribuição), temos
limxto -inftyF(x)=0, limxto+inftyF(x)=1
Dado varepsilon>0, escolha M>0 tal que
F(-M)<varepsilon e 1-F(M)<varepsilon
Passo 3
Sobre o intervalo compacto [-M,M], uniformemente contínuo dá: existe de<a>0 tal que