Prove: se Fn F fracamente e F é continua, então Fn(x) converge para F(x) uniformemente na reta.

Passo 1

O enunciado quer provar que, se (Fn) converge fracamente para uma função de distribuição F contínua em R, então de fato
supxinRl|Fn(x)-F(x)r|;xrightarrow[ntoinfty];0
O conteúdo aqui é a teoria de convergência em distribuição (ou fraca) e o uso de monotonicidade e continuidade de F para reforçar a convergência pontual num limite uniforme.

Passo 2

Como F é monotona não decrescente, limitada (vai de 0 a 1) e contínua, segue que F é uniformemente contínua em qualquer intervalo compacto. Além disso, pelos limites em pminfty (funções de distribuição), temos
limxto -inftyF(x)=0, limxto+inftyF(x)=1
Dado varepsilon>0, escolha M>0 tal que
F(-M)<varepsilon e 1-F(M)<varepsilon

Passo 3

Sobre o intervalo compacto [-M,M], uniformemente contínuo dá: existe de<a>0 tal que
|x-y|<de<a Longrightarrow l|F(x)-F(y)r|<varepsilon
Depois, partimos [-M,M] em pontos
x0=-M,;x1= -M+de<a,;dots,;xK=M,
de modo que cada subintervalo tenha comprimento <=de<a.

Passo 4

Pela convergência fraca, em cada ponto de continuidade de F (e aqui todos os xj são pontos de continuidade), vale
Fn(xj);xrightarrow[ntoinfty];F(xj)
Logo existe N tal que para todo n>= N e todo j,
l|Fn(xj)-F(xj)r|<varepsilon

Passo 5

Agora, tome xin[-M,M]. Seja j com xj<= x<= xj+1. Como Fn e F são não decrescentes,
Fn(x)<= Fn(xj+1), F(x)>= F(xj),
portanto
Fn(x)-F(x) <= Fn(xj+1)-F(xj) = l[Fn(xj+1)-F(xj+1)r] +l[F(xj+1)-F(xj)r]
Cada parcela é <varepsilon, pois a primeira vem de n>= N e a segunda da uniformidade de F. Logo
Fn(x)-F(x)<2varepsilon
Analogamente, invertendo papéis,
F(x)-Fn(x) <= F(xj+1)-Fn(xj) <2varepsilon
Concluímos que para todo xin[-M,M] e n>= N
l|Fn(x)-F(x)r|<2varepsilon

Passo 6

Faltam as “caudas” x<-M e x>M. Se x<-M, então
0<= Fn(x)<= Fn(-M) e 0<= F(x)<= F(-M)<varepsilon,
para n grande Fn(-M) também é <2varepsilon, logo l|Fn(x)-F(x)r|<2varepsilon. Se x>M, de modo análogo obtemos l|Fn(x)-F(x)r|<2varepsilon.

Resposta

Para todo varepsilon>0 existe N tal que, para todo n>= N e todo xinR, vale
l|Fn(x)-F(x)r|<2varepsilon,
isto é,
supxinRl|Fn(x)-F(x)r| xrightarrow[ntoinfty]0,
demonstrando a convergência uniforme.

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