(Propriedade FC9 para vetores). Seja undersetsimX=(X1, ldots, Xk) um vetor aleatório. Sob condições de regularidade, o momento misto E(X1^m1 X2^m2 ldots Xk^mk), onde os mj são inteiros não-negativos, poderá ser obtido derivando-se a função característica de undersetsimX :
partial^m1+cdots+mkpartial t1^m1 ldots partial tk^mk varphiundersetsimx^x(t1, ldots, tk)|undersetsimt=undersetsim0=i^m1+cdots+mk E(X1^m1 ldots Xk^mk)
Demonstre este resultado no caso em que k=2 e m1=m2=1, sob a condição de que E X1, E X2 e E X1 X2 sejam finitas, i.e., demonstre que
partial^2partial t1 partial t2 varphi(x1, x2)(t1, t2)|r1=t2=0=-E X1 X2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, no caso de dois componentes (X1,X2) e momentos de ordem 1 em cada variável, que
partial^2partial t1partial t2varphi(X1,X2)(t1,t2)|t1=0,t2=0 =-El[X1X2r]
O conteúdo será a definição de função característica conjunta e o uso de troca de derivada com esperança, garantida pelas condições de finitude de E|X1|, E|X2| e E|X1X2|.

Passo 2

Começamos definindo a função característica conjunta:
varphi(X1,X2)(t1,t2) =El[e^,i(t1X1+t2X2)r]
Como E|X1| e E|X2| são finitos, podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada para trocar derivação e esperança nas derivadas parciais de primeira ordem.

Passo 3

Derivando em relação a t1 sob o sinal de esperança, temos
partialpartial t1 e^,i(t1X1+t2X2) = i,X1,e^,i(t1X1+t2X2),
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partialpartial t1varphi(X1,X2)(t1,t2) =El[i,X1,e^,i(t1X1+t2X2)r]

Passo 4

Agora derivamos essa expressão em relação a t2, de novo trocando derivada e esperança:
partial^2partial t1partial t2 varphi(X1,X2)(t1,t2) =El[i,X1,l(i,X2,e^,i(t1X1+t2X2)r)r] =i^2,El[X1X2,e^,i(t1X1+t2X2)r]

Passo 5

Bast a avaliar em (t1,t2)=(0,0), pois e^,i(0cdot X1+0cdot X2)=1:
partial^2partial t1partial t2 varphi(X1,X2)(t1,t2)|t1=0,t2=0 =i^2,El[X1X2r] =-El[X1X2r]

Resposta

-E[X1X2]

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