(Propriedade FC9 para vetores). Seja um vetor aleatório. Sob condições de regularidade, o momento misto , onde os são inteiros não-negativos, poderá ser obtido derivando-se a função característica de :
Demonstre este resultado no caso em que k=2 e m1=m2=1, sob a condição de que E X1, E X2 e E X1 X2 sejam finitas, i.e., demonstre que
O conteúdo será a definição de função característica conjunta e o uso de troca de derivada com esperança, garantida pelas condições de finitude de E|X1|, E|X2| e E|X1X2|.
Passo 2
Começamos definindo a função característica conjunta:
varphi(X1,X2)(t1,t2) =El[e^,i(t1X1+t2X2)r]
Como E|X1| e E|X2| são finitos, podemos aplicar o Teorema da Convergência Dominada para trocar derivação e esperança nas derivadas parciais de primeira ordem.
Passo 3
Derivando em relação a t1 sob o sinal de esperança, temos