(a) Suponha que e, para todo n, Xn seja independente de Yn. Mostre que Xn+Yn xrightarrowD N(0,2).
(b) Generalize (a), provando que se Xn xrightarrowD F e Yn xrightarrowD G, onde Xn e Yn são independentes forall n, então Xn+Yn xrightarrowD F * G. Aqui, F e G são funções de distribuição e F * G é sua convolução.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos duas sequências Xn e Yn de variáveis aleatórias tais que
Xn xrightarrowD N(0,1) e Yn xrightarrowD N(0,1),
Xn é independente de Yn para todo n.
O objetivo em (a) é mostrar que
Xn + Yn xrightarrowD N(0,2),
e em (b) provar que, mais geralmente, se
Xn xrightarrowD F, Yn xrightarrowD G,
com independência para todo n, então
Xn + Yn xrightarrowD F * G,
onde F*G é a convolução das distribuições limite. Para isso, vamos usar funções características e o Teorema de Continuidade de Lévy.
Passo 2
Definimos as funções características
phiXn(t)=El[e^itXnr], phiYn(t)=El[e^itYnr]
Pelo Teorema de Continuidade de Lévy, XnxrightarrowDX implica
phiXn(t);longrightarrow;phiX(t) para todo t,
onde phiX é contínua em t. Além disso, pela independência de Xn e Yn, vale
phiXn+Yn(t) =phiXn(t),phiYn(t)
Passo 3
Para o item (a), a distribuição limite de Xn e de Yn é N(0,1), cuja função característica é