(a) Suponha que Xn xrightarrowD N(0,1), Yn xrightarrowD N(0,1) e, para todo n, Xn seja independente de Yn. Mostre que Xn+Yn xrightarrowD N(0,2).
(b) Generalize (a), provando que se Xn xrightarrowD F e Yn xrightarrowD G, onde Xn e Yn são independentes forall n, então Xn+Yn xrightarrowD F * G. Aqui, F e G são funções de distribuição e F * G é sua convolução.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas sequências Xn e Yn de variáveis aleatórias tais que
  1. Xn xrightarrowD N(0,1) e Yn xrightarrowD N(0,1),
  2. Xn é independente de Yn para todo n.
    O objetivo em (a) é mostrar que
Xn + Yn xrightarrowD N(0,2),
e em (b) provar que, mais geralmente, se
Xn xrightarrowD F, Yn xrightarrowD G,
com independência para todo n, então
Xn + Yn xrightarrowD F * G,
onde F*G é a convolução das distribuições limite. Para isso, vamos usar funções características e o Teorema de Continuidade de Lévy.

Passo 2

Definimos as funções características
phiXn(t)=El[e^itXnr], phiYn(t)=El[e^itYnr]
Pelo Teorema de Continuidade de Lévy, XnxrightarrowDX implica
phiXn(t);longrightarrow;phiX(t) para todo t,
onde phiX é contínua em t. Além disso, pela independência de Xn e Yn, vale
phiXn+Yn(t) =phiXn(t),phiYn(t)

Passo 3

Para o item (a), a distribuição limite de Xn e de Yn é N(0,1), cuja função característica é
phiN(0,1)(t)=e^-t^2/2
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phiXn(t)to e^-t^2/2, phiYn(t)to e^-t^2/2,
e daí pela independência
phiXn+Yn(t) =phiXn(t),phiYn(t) ;longrightarrow; e^-t^2/2,e^-t^2/2 =e^-t^2
Mas e^-t^2 é exatamente a função característica de N(0,2). Pelo Teorema de Lévy concluímos
Xn+Yn xrightarrowD N(0,2)

Passo 4

No item (b), seja F a distribuição-limite de Xn e G a de Yn. Chamando
phiF(t)ephiG(t)
suas funções características, temos
phiXn(t)tophiF(t), phiYn(t)tophiG(t),
e pela independência
phiXn+Yn(t) ;=;phiXn(t),phiYn(t) ;longrightarrow; phiF(t),phiG(t)
Mas o produto de funções características phiFphiG é a função característica da distribuição F*G. Aplicando novamente o Teorema de Lévy, obtemos
Xn+Yn xrightarrowD F*G

Resposta

(a) Xn+YnxrightarrowDN(0,2)
(b) Xn+YnxrightarrowDF * G

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