Seja X uma variável aleatória com densidade f(x), onde f é continua. Qual a distribuição condicional de X dada |X| ? Verifique sua resposta. (Observação: a hipótese de continuidade de f não é necessária. Tente verificar a Relação 4.1 sem essa hipótese.)

Passo 1

O enunciado pede a distribuição condicional de X dado lvert Xrvert.
Conteúdo: densidades de variáveis transformadas e definição de probabilidade condicional.
Vamos usar a ideia de aproximar a probabilidade condicional por razões de pequenas probabilidades em intervalos que encolhem.

Passo 2

Fixe t>0 e seja varepsilon>0 pequeno. Pela definição de probabilidade condicional,
Prl(Xin[t,t+varepsilon),mvert,lvert Xrvertin[t,t+varepsilon)r) =Prl(Xin[t,t+varepsilon)r)Prl(lvert Xrvertin[t,t+varepsilon)r)
Note que
lvert Xrvertin[t,t+varepsilon) =Xin[t,t+varepsilon);cup;Xin[-t-varepsilon,-t),
com eventos disjuntos.

Passo 3

Usando a densidade f, para varepsilon pequeno vale
Prl(Xin[t,t+varepsilon)r)approx f(t),varepsilon, Prl(Xin[-t-varepsilon,-t)r)approx f(-t),varepsilon
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Prl(Xin[t,t+varepsilon)mid lvert Xrvertin[t,t+varepsilon)r) approxf(t),varepsilonf(t),varepsilon+f(-t),varepsilon =f(t)f(t)+f(-t)
Fazendo varepsilonto0 obtemos
Prl(X=+tmid lvert Xrvert=tr) =f(t)f(t)+f(-t)
Analogamente
Prl(X=-tmid lvert Xrvert=tr) =f(-t)f(t)+f(-t)

Resposta

A distribuição condicional de X dado lvert Xrvert=t é uma lei discreta em +t,-t com
Prl(X=+tmid lvert Xrvert=tr) =f(t)f(t)+f(-t), Prl(X=-tmid lvert Xrvert=tr) =f(-t)f(t)+f(-t)

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