Suponha que ( X, Y ) possua distribuição uniforme em A , onde A é uma região de área positiva. Mostre que a distribuição condicional de X dado que Y=y é uniforme em Ay, a seção de A por y, onde definimos Ay=x:(x, y) in A.

Passo 1

O enunciado afirma que Ay=,x:(x,y)in A é uniformemente distribuído em uma região de área positiva. Queremos mostrar que, para cada valor fixo , a distribuição condicional de dado é uniforme em
Usaremos as definições de densidade conjunta, marginal e condicional para variáveis contínuas.

Passo 2

Como fX,Y(x,y) = dfrac1Area(A),&(x,y)in A, 0,&caso contrário é uniforme em , sua densidade conjunta vale
á

Passo 3

A densidade marginal de fY(y) =integral-infty^inftyfX,Y(x,y),dx =integralAy1Area(A),dx =<=n>h(Ay)Area(A), é obtida integrando em :
onde é o comprimento (medida) da seção .

Passo 4

Pela definição de densidade condicional, para fXmid Y(xmid y) =fX,Y(x,y)fY(y) =1Area(A)<=n>h(Ay)Area(A) =1<=n>h(Ay), temos
e fora de .

Passo 5

A densidade condicional é constante em . Logo, é uniformemente distribuído sobre .

Resposta

A distribuição condicional de fXmid Y(xmid y) = dfrac1<=n>h(Ay),&xin Ay, 0,&caso contrário dado tem densidade
á
ou seja, é uniforme em .

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