Suponha que ( X, Y ) possua distribuição uniforme em A , onde A é uma região de área positiva. Mostre que a distribuição condicional de X dado que Y=y é uniforme em Ay, a seção de A por y, onde definimos Ay=x:(x, y) in A.

Passo 1

O enunciado afirma que (X,Y) é uniformemente distribuído em uma região AsubsetR^2 de área positiva. Queremos mostrar que, para cada valor fixo y, a distribuição condicional de X dado Y=y é uniforme em
Ay=,x:(x,y)in A
Usaremos as definições de densidade conjunta, marginal e condicional para variáveis contínuas.

Passo 2

Como (X,Y) é uniforme em A, sua densidade conjunta vale
fX,Y(x,y) = dfrac1Area(A),&(x,y)in A, 0,&caso contrário á

Passo 3

A densidade marginal de Y é obtida integrando fX,Y em x:
fY(y) =integral-infty^inftyfX,Y(x,y),dx =integralAy1Area(A),dx =<=n>h(Ay)Area(A),
onde <=n>h(Ay)=integralAy1,dx é o comprimento (medida) da seção Ay.

Passo 4

Pela definição de densidade condicional, para xin Ay temos
fXmid Y(xmid y) =fX,Y(x,y)fY(y) =1Area(A)<=n>h(Ay)Area(A) =1<=n>h(Ay),
e fXmid Y(xmid y)=0 fora de Ay.

Passo 5

A densidade condicional fXmid Y(xmid y) é constante em Ay. Logo, Xmid(Y=y) é uniformemente distribuído sobre Ay.

Resposta

A distribuição condicional de
ou seja, é uniforme em (A_{y}].

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