Suponha que ( ) possua distribuição uniforme em A , onde A é uma região de área positiva. Mostre que a distribuição condicional de dado que é uniforme em , a seção de por , onde definimos .
Passo 1
O enunciado afirma que é uniformemente distribuído em uma região de área positiva. Queremos mostrar que, para cada valor fixo , a distribuição condicional de dado é uniforme em
Usaremos as definições de densidade conjunta, marginal e condicional para variáveis contínuas.
Passo 2
Como é uniforme em , sua densidade conjunta vale
Passo 3
A densidade marginal de fY(y) =integral-infty^inftyfX,Y(x,y),dx =integralAy1Area(A),dx =<=n>h(Ay)Area(A), é obtida integrando em :
onde é o comprimento (medida) da seção .
Passo 4
Pela definição de densidade condicional, para fXmid Y(xmid y) =fX,Y(x,y)fY(y) =1Area(A)<=n>h(Ay)Area(A) =1<=n>h(Ay), temos
e fora de .
Passo 5
A densidade condicional é constante em . Logo, é uniformemente distribuído sobre .
Resposta
A distribuição condicional de fXmid Y(xmid y) = dfrac1<=n>h(Ay),&xin Ay, 0,&caso contrário dado tem densidade
á
ou seja, é uniforme em .
Probabilidade e Estatística - Barry R. James - Probabilidade: Um Curso de Nível Intermediário - 1ª Edição - Capítulo 4.4.5 - Ex. 17