Obtenha a conjunta de X e Y e a marginal de Y, sendo dados:
p_{X}(x)=x / 3, x=1,2 ; p_{Y \mid X}(y \mid x)=\binom{x}{y}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}, y \in \mathbb{N}, y \leq x \text { e } x=1,2

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de probabilidade de X e a condicional de Y dado X:
p_X(x)=\frac{x}{3},\quad x\in\{1,2\},
p_{Y\mid X}(y\mid x)=\binom{x}{y}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{x},\quad y\in\{0,1,\dots,x\},\;x\in\{1,2\}.
Queremos (i) a distribuição conjunta p_{X,Y}(x,y) e (ii) a marginal p_Y(y). Usaremos as fórmulas
p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)\,p_{Y\mid X}(y\mid x),
p_Y(y)=\sum_{x}p_{X,Y}(x,y).

Passo 2

Pela definição de conjunta:
p_{X,Y}(x,y)=p_X(x)\,p_{Y\mid X}(y\mid x) =\frac{x}{3}\,\binom{x}{y}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{x},
para x\in\{1,2\} e y\in\{0,1,\dots,x\}. Fora desses valores, p_{X,Y}(x,y)=0.

Passo 3

A marginal de Y é
p_Y(y)=\sum_{x=1}^{2}p_{X,Y}(x,y) =\sum_{x=1}^{2}\frac{x}{3}\binom{x}{y}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{x}.
Como \binom{x}{y}=0 para y>x, só precisamos de y=0,1,2.

Passo 4

Cálculo de p_Y(y):
p_Y(0) =\frac{1}{3}\binom{1}{0}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{1} +\frac{2}{3}\binom{2}{0}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2} =\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3},
p_Y(1) =\frac{1}{3}\binom{1}{1}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{1} +\frac{2}{3}\binom{2}{1}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2} =\frac{1}{6}+\frac{1}{3}=\frac{1}{2},
p_Y(2) =\frac{2}{3}\binom{2}{2}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2} =\frac{2}{3}\cdot1\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{6},
e p_Y(y)=0 para y\notin\{0,1,2\}.

Resposta

p_{X,Y}(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x}{3}\binom{x}{y}\Bigl(\tfrac{1}{2}\Bigr)^{x},&x\in\{1,2\},\;y\in\{0,1,\dots,x\},\\\\ 0,&\text{caso contrário}, \end{cases}á
p_Y(y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{1}{3},&y=0,\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{2},&y=1,\\[6pt] \displaystyle \frac{1}{6},&y=2,\\[3pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

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