Seja X \sim B(n=5, p=1 / 2) e defina Y=\frac{1}{2}(\max (X, 4)+\min (X, 2)).
a. Obtenha p(y) e F_{Y}.
b. Calcule P(Y \leq 2) e P(Y>2 \mid Y \leq 4).

Passo 1

O enunciado define X\sim\mathrm{Bin}(n=5,p=\tfrac12) e a transformação
Y=\frac12\bigl(\max(X,4)+\min(X,2)\bigr).
Queremos (a) o vetor de probabilidades p_Y(y) e a função de distribuição F_Y(y), e (b) as probabilidades P(Y\le2) e P(Y>2\mid Y\le4).

Passo 2

Vamos ver como Y se comporta conforme o valor de X:
  • Se X\le2, então \max(X,4)=4 e \min(X,2)=X, de modo que Y=\frac{4+X}{2}=2+\frac X2.Para X=0,1,2 isso dá Y=2,\,2{,}5,\,3.
  • Se 2<X<4, ou seja X=3, então \max(X,4)=4 e \min(X,2)=2, logo Y=\frac{4+2}{2}=3.
  • Se X\ge4, ou seja X=4,5, então \max(X,4)=X e \min(X,2)=2, logo Y=\frac{X+2}{2}=\frac X2+1,que para X=4 Y=3 e para X=5 Y=3{,}5.
Portanto o suporte de Y é \{2,\,2{,}5,\,3,\,3{,}5\}.

Passo 3

Agora usamos P(X=k)=\binom5k(1/2)^5 para agrupar probabilidades que levam ao mesmo y:
\begin{aligned} P(Y=2)&=P(X=0)=\frac1{32},\\\ P(Y=2{,}5)&=P(X=1)=\frac5{32},\\\ P(Y=3)&=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) =\frac{10+10+5}{32}=\frac{25}{32},\\\ P(Y=3{,}5)&=P(X=5)=\frac1{32}. \end{aligned}
Logo, em forma condensada:
p_Y(2)=\frac1{32},\quad p_Y(2{,}5)=\frac5{32},\quad p_Y(3)=\frac{25}{32},\quad p_Y(3{,}5)=\frac1{32}.

Passo 4

Para a função de distribuição F_Y(y)=P(Y\le y) temos o efeito da soma acumulada:
F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<2,\\\ \frac1{32},&2\le y<2{,}5,\\\ \frac{1+5}{32}=\frac6{32},&2{,}5\le y<3,\\\ \frac{6+25}{32}=\frac{31}{32},&3\le y<3{,}5,\\\\ 1,&y\ge3{,}5. \end{cases}

Passo 5

(a) Já temos P(Y\le2)=F_Y(2)=1/32.
(b) Note que Y nunca ultrapassa 3{,}5, logo P(Y\le4)=1 e
P(Y>2\mid Y\le4) =\frac{P(Y>2\\ \wedge\\ Y\le4)}{P(Y\le4)} =\frac{P(Y>2)}{1} =1-P(Y\le2) =1-\frac1{32} =\frac{31}{32}.

Resposta

a.
p_Y(2)=\frac1{32},\quad p_Y(2{,}5)=\frac5{32},\quad p_Y(3)=\frac{25}{32},\quad p_Y(3{,}5)=\frac1{32},
F_Y(y)= \begin{cases} 0,&y<2,\\\ \frac1{32},&2\le y<2{,}5,\\\ \frac6{32},&2{,}5\le y<3,\\\ \frac{31}{32},&3\le y<3{,}5,\\\\ 1,&y\ge3{,}5. \end{cases}
b.
P(Y\le2)=\frac1{32}, \quad P(Y>2\mid Y\le4)=\frac{31}{32}.

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