Qual é o polígono regular que tem o mesmo número de lados e de diagonais?
Passo 1
O enunciado pede o polígono regular que tem o mesmo número de lados e de diagonais. Para resolver, vamos representar o número de lados por
e usar a fórmula geral do número de diagonais em um polígono convexo de
lados.
Passo 2
Em um polígono convexo de
lados, cada vértice conecta-se a
vértices, mas as conexões aos dois vértices vizinhos não são diagonais, restando
diagonais por vértice. Como cada diagonal é contada duas vezes ao percorrermos todos os vértices, o número total de diagonais é
Passo 3
Igualando o número de diagonais ao número de lados, ou seja, impondo
multiplicamos ambos os lados por 2 e reorganizamos:
Passo 4
As soluções da equação são
ou
. Um polígono válido deve ter pelo menos 3 lados, então descartamos
e obtemos
. Logo, trata-se de um pentágono regular, que possui 5 lados e exatamente 5 diagonais.
Resposta
Pentágono regular.