Qual é o polígono regular que tem o mesmo número de lados e de diagonais?

Passo 1

O enunciado pede o polígono regular que tem o mesmo número de lados e de diagonais. Para resolver, vamos representar o número de lados por n e usar a fórmula geral do número de diagonais em um polígono convexo de n lados.

Passo 2

Em um polígono convexo de n lados, cada vértice conecta-se a n-1 vértices, mas as conexões aos dois vértices vizinhos não são diagonais, restando n-3 diagonais por vértice. Como cada diagonal é contada duas vezes ao percorrermos todos os vértices, o número total de diagonais é
\frac{n(n-3)}{2}.

Passo 3

Igualando o número de diagonais ao número de lados, ou seja, impondo
\frac{n(n-3)}{2} = n,
multiplicamos ambos os lados por 2 e reorganizamos:
n(n-3) = 2n \quad\Longrightarrow\quad n^2 - 5n = 0 \quad\Longrightarrow\quad n(n-5) = 0.

Passo 4

As soluções da equação são n=0 ou n=5. Um polígono válido deve ter pelo menos 3 lados, então descartamos n=0 e obtemos n=5. Logo, trata-se de um pentágono regular, que possui 5 lados e exatamente 5 diagonais.

Resposta

Pentágono regular.

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