Sejam X1, X2, ldots independentes e identicamence distribuidas, com Xn sim U[0,1], e sejam Yn=min (X1, ldots, Xn), Zn=max (X1, ldots, Xn),
Un=n Yn Vn=n(1-Zn). Mostre que; quando n infty :
(a) Yn xrightarrowP 0 e Zn xrightarrowP 1.
(b) Un xrightarrowD W e Vn xrightarrowD W, onde W tem distribuição exponencial de parâmetro 1 .

Passo 1

O enunciado considera variáveis independentes e identicamente distribuídas Xisim U[0,1]. Definimos as estatísticas de ordem
Yn=min(X1,dots,Xn), Zn=max(X1,dots,Xn),
e as variáveis escaladas
Un = n,Yn, Vn = nl(1 - Znr)
Precisamos mostrar que, quando ntoinfty:
(a) Ynto0 e Znto1.
(b) UntoW e VntoW, onde WsimExp(1).
Usaremos funções de distribuição e limites exponenciais.

Passo 2

Mostramos Ynto0. Para qualquer epsilon>0,
Pl(Yn>epsilonr) = Pl(X1>epsilon,dots,Xn>epsilonr) = l(1-epsilonr)^n
Como limntoinfty(1-epsilon)^n=0, segue P(|Yn-0|>epsilon)to0, ou seja Ynto0.

Passo 3

Mostramos Znto1. Para qualquer epsilon>0,
Pl(Zn<1-epsilonr) = Pl(X1<1-epsilon,dots,Xn<1-epsilonr) = (1-epsilon)^n
Novamente (1-epsilon)^nto0, logo P(|Zn-1|>epsilon)to0 e Znto1.

Passo 4

Mostramos Un = nYntoW. Para x>=0,
Pl(Un<= xr) = Pl(Yn<= x/nr) = 1 - Pl(Yn > x/nr) = 1 - l(1 - tfracxnr)^n
Como limntoinfty(1 - tfracxn)^n = e^-x, temos
limntoinftyP(Un<= x) = 1 - e^-x,
que é a CDF de Exp(1). Logo UntoW.

Passo 5

Mostramos Vn = n(1-Zn)toW. Para x>=0,
Pl(Vn<= xr) = Pl(Zn >= 1 - x/nr) = 1 - Pl(Zn < 1 - x/nr) = 1 - l(1 - tfracxnr)^n
De novo limntoinfty(1 - tfracxn)^n = e^-x, portanto
limntoinftyP(Vn<= x) = 1 - e^-x,
comportamento de Exp(1). Assim VntoW.

Resposta

(a) Ynto0 e Znto1.
(b) UntoW e VntoW, com WsimExp(1).

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