Seja (Xn)n >= 1 úma sequência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas, tais que P(Xn=1)=12=P(Xn=-1), e seja
Yn=sumk=1^n 12^k Xk
Mostre que Yn xrightarrowD U[-1,1]. (Sugestão. Use a igualdade cos theta=sen(2 theta) /(2 sen theta).

Passo 1

O enunciado trata de variáveis aleatórias i.i.d. (Xn) com
;P(Xn=1)=P(Xn=-1)=tfrac12
e define
Yn ;=;sumk=1^n tfrac12^kXk
Queremos mostrar que Yn converge em distribuição para a lei uniforme em [-1,1].
Conteúdo: funções características e Teorema da Continuidade de Lévy.

Passo 2

Lembre que a função característica de é
Como os são independentes, isso se fatoriza em

Passo 3

Para cada ,
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Passo 4

Usamos a identidade sugerida
costheta=sin(2theta)2sintheta. Para theta=t/2^k,
cos!l(t/2^kr) =sin!l(2cdot t/2^kr)2sin!l(t/2^kr) =sin!l(t/2^k-1r)2sin!l(t/2^kr)
Multiplicando para k=1,dots,n ocorre um telescópio:
prodk=1^n cos!l(t/2^kr) =prodk=1^n sin(t/2^k-1)2sin(t/2^k) =sin(t/2^0)2^n,sin(t/2^n) =sin t2^n,sinl(t/2^nr)

Passo 5

Agora analisamos o limite quando ntoinfty. Como para uto0 vale
sin usim u, temos
2^n,sin!l(t/2^nr);sim;2^n,(t/2^n)=t
Portanto
limntoinftyvarphiYn(t) =limntoinftysin t2^n,sin(t/2^n) =sin tt

Passo 6

Sabemos que varphiU(t)=sin tt é a função característica da distribuição uniforme em [-1,1]. Pelo Teorema da Continuidade de Lévy, varphiYn(t)tovarphiU(t) para todo t implica
YnxrightarrowD U[-1,1]

Resposta

YnxrightarrowDU[-1,1].

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