(a) Se
, qual a função característica de
?
(b) Mostre, usando funções características, que se
,
, e
e
são independentes, então
.
(b) Mostre, usando funções características, que se
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função característica de uma variável
com distribuição binomial
e, em seguida, usar propriedades de função característica para mostrar que a soma de duas binomiais independentes
e
é
. O conteúdo necessário é a definição de função característica e sua propriedade de multiplicação para variáveis independentes.
Passo 2
A função característica de uma variável discreta
é definida por
Se
, então
Reconhecemos a soma como o binômio de Newton aplicado a
, logo
Passo 3
Agora sejam
e
independentes. A propriedade de variáveis independentes diz que
Pelo resultado do passo anterior,
logo
Mas essa é exatamente a função característica de
. Portanto
.
Resposta
(a)
(b) Usando independência, , logo
.
(b) Usando independência,