(a) Se X sim b(n, p), qual a função característica de X ?
(b) Mostre, usando funções características, que se X sim b(m, p), Y sim b(n, p), e X e Y são independentes, então X+Y sim b(m+n, p).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função característica de uma variável X com distribuição binomial Bin(n,p) e, em seguida, usar propriedades de função característica para mostrar que a soma de duas binomiais independentes Bin(m,p) e Bin(n,p) é Bin(m+n,p). O conteúdo necessário é a definição de função característica e sua propriedade de multiplicação para variáveis independentes.

Passo 2

A função característica de uma variável discreta X é definida por
phiX(t)=El[e^,i t Xr]
Se Xsim Bin(n,p), então
phiX(t) =sumk=0^ne^,i t kbinomnkp^k(1-p)^,n-k
Reconhecemos a soma como o binômio de Newton aplicado a (1-p)+p e^,i t, logo
phiX(t) =l((1-p)+p e^,i tr)^n

Passo 3

Agora sejam Xsim Bin(m,p) e Ysim Bin(n,p) independentes. A propriedade de variáveis independentes diz que
phiX+Y(t) =phiX(t),phiY(t)
Pelo resultado do passo anterior,
phiX(t) =l((1-p)+p e^,i tr)^m, phiY(t) =l((1-p)+p e^,i tr)^n,
logo
phiX+Y(t) =l((1-p)+p e^,i tr)^m, l((1-p)+p e^,i tr)^n =l((1-p)+p e^,i tr)^m+n
Mas essa é exatamente a função característica de Bin(m+n,p). Portanto X+Ysim Bin(m+n,p).

Resposta

(a) phiX(t)=l((1-p)+p e^,i tr)^n
(b) Usando independência, phiX+Y(t)=phiX(t)phiY(t)=l((1-p)+p e^,i tr)^m+n, logo X+Ysim Bin(m+n,p).

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