Mostre que se X1, ldots, Xn são independentes com, cada uma distribuição simétrica em torno de 0 , então sumj=1^n aj Xj possui distribuição simétrica em tomo de 0 , para toda escolha das constantes aj in E.

Passo 1

O enunciado diz que X1,dots,Xn são variáveis aleatórias independentes e cada uma tem distribuição simétrica em torno de zero. Queremos mostrar que, para quaisquer constantes reais a1,dots,an, a combinação linear
Y ;=; sumj=1^najXj
também tem distribuição simétrica em torno de zero. Vamos usar a noção de função característica e a propriedade de independência.

Passo 2

Recordando a definição, a função característica de uma v.a. X é
varphiX(t);=;El[e^,i,t,Xr]
Uma v.a. X é simétrica em torno de zero se, e somente se, sua função característica satisfaz
varphiX(t);=;varphiX(-t) para todo tinR,
já que isso equivale a dizer que X e -X têm a mesma lei.

Passo 3

Denotemos Y=sumj=1^najXj. Pela independência das Xj, a função característica de Y é o produto das características de cada ajXj:
varphiY(t) =El[e^,i,tsumjajXjr] =prodj=1^nEl[e^,i,(ajt),Xjr] =prodj=1^nvarphiXj(ajt)

Passo 4

Como cada Xj é simétrica em torno de zero, temos varphiXj(u)=varphiXj(-u) para todo u. Logo,
varphiY(-t) =prodj=1^nvarphiXjl(aj(-t)r) =prodj=1^nvarphiXj(-ajt) =prodj=1^nvarphiXj(ajt) =varphiY(t)

Passo 5

A igualdade varphiY(t)=varphiY(-t) mostra que a v.a. Y tem distribuição simétrica em torno de zero. Portanto, qualquer combinação linear de variáveis independentes simétricas continua simétrica.

Resposta

A soma sumj=1^najXj é simétrica em torno de zero para quaisquer a1,dots,aninR.

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