Mostre que se
são independentes com, cada uma distribuição simétrica em torno de 0 , então
possui distribuição simétrica em tomo de 0 , para toda escolha das constantes
.
Passo 1
O enunciado diz que
são variáveis aleatórias independentes e cada uma tem distribuição simétrica em torno de zero. Queremos mostrar que, para quaisquer constantes reais
, a combinação linear
também tem distribuição simétrica em torno de zero. Vamos usar a noção de função característica e a propriedade de independência.
Passo 2
Recordando a definição, a função característica de uma v.a.
é
Uma v.a.
é simétrica em torno de zero se, e somente se, sua função característica satisfaz
já que isso equivale a dizer que
e
têm a mesma lei.
Passo 3
Denotemos
. Pela independência das
, a função característica de
é o produto das características de cada
:
Passo 4
Como cada
é simétrica em torno de zero, temos
para todo
. Logo,
Passo 5
A igualdade
mostra que a v.a.
tem distribuição simétrica em torno de zero. Portanto, qualquer combinação linear de variáveis independentes simétricas continua simétrica.
Resposta
A soma
é simétrica em torno de zero para quaisquer
.