Resolva a equação C41^p=C41^2 p-1.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre os valores inteiros de p tais que
binom41p ;=;binom412p-1
O conteúdo principal é a propriedade de simetria dos coeficientes binomiais:
binomnk = binomnn-k

Passo 2

Pela propriedade de simetria temos que dois coeficientes binomiais em binom41cdot são iguais só nos casos:
1. p = 2p-1, ou
2. p = 41 - (2p - 1).
Vamos resolver cada um:
  • Se p = 2p-1 então p = 2p-1 Longrightarrow p = 1
  • Se p = 41 - (2p - 1) então p = 42 - 2p Longrightarrow 3p = 42 Longrightarrow p = 14

Passo 3

Verificamos que p=1 e p=14 são inteiros e estão no intervalo válido 0<= p<= 41, e de fato satisfazem a equação original.

Resposta

p = 1 ou p = 14.

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