Prove que o critério para integrabilidade ainda vale se " >= " é substituído por “>”, i.e., X é integrável se, e somente se, sumn=1^infty P(|X|>n)<infty.

Passo 1

O enunciado nos lembra o critério já conhecido de “cauda” para integrabilidade de X:
X é integrável Long<=ftrightarrow sumn=1^inftyPl(|X|>= nr)<infty éá
Precisamos mostrar que o mesmo critério vale trocando “ >=” por “ >”, ou seja,
X é integrável Long<=ftrightarrow sumn=1^inftyPl(|X|> nr)<infty éá

Passo 2

Definamos para cada n>=1 as quantidades
an=Pl(|X|>= nr), bn=Pl(|X|> nr)
Observamos que
an-bn =Pl(|X|>= nr)-Pl(|X|>nr) =Pl(|X|=nr)

Passo 3

Como os eventos |X|=n são disjuntos para diferentes n, tem-se
sumn=1^inftyPl(|X|=nr) = Pl(cupn=1^infty|X|=nr) <= 1
Logo a série sumnP(|X|=n) converge (e seu valor é no máximo 1).

Passo 4

Agora note que
sumn=1^inftyan -sumn=1^inftybn =sumn=1^inftyl(an-bnr) =sumn=1^inftyPl(|X|=nr)<infty
Isto mostra que
sum an<infty se, e somente se, sum bn<infty.

Resposta

Portanto
X é integrável Long<=ftrightarrow sumn=1^inftyPl(|X|>nr)<infty éá

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