Seja
Cauchy ( 0,1 ). Quais são os momentos absolutos finitos de
?
Passo 1
O enunciado diz que
tem distribuição de Cauchy padrão, isto é
e pede para determinar para quais ordens
o momento absoluto
é finito.
Passo 2
Escrevemos o momento absoluto como integral e usamos a simetria de
:
Passo 3
Analisamos a convergência da integral em
. Para
,
, e
converge desde que
. Como nos interessam
, este ponto está garantido.
Passo 4
Analisamos a convergência em
. Para
,
, e
converge se, e somente se,
Passo 5
Juntando as duas condições (no zero e no infinito) e lembrando que queremos
, concluímos que
Resposta
Os momentos absolutos de
existem (são finitos) apenas para ordens
Para
,
.