Seja X sim Cauchy ( 0,1 ). Quais são os momentos absolutos finitos de X ?

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição de Cauchy padrão, isto é
fX(x)=1pi,11+x^2,
e pede para determinar para quais ordens p>0 o momento absoluto
El(|X|^pr) é finito.

Passo 2

Escrevemos o momento absoluto como integral e usamos a simetria de fX:
El(|X|^pr) =integral-infty^infty|x|^p,fX(x),dx =2piintegral0^inftyx^p1+x^2,dx

Passo 3

Analisamos a convergência da integral em 0. Para xto0^+,
dfracx^p1+x^2sim x^p, e
integral0^1x^p,dx
converge desde que p>-1. Como nos interessam p>0, este ponto está garantido.

Passo 4

Analisamos a convergência em +infty. Para xtoinfty,
dfracx^p1+x^2sim x^p-2, e
integral1^inftyx^p-2,dx
converge se, e somente se,
p-2<-1 Long<=ftrightarrow p<1

Passo 5

Juntando as duas condições (no zero e no infinito) e lembrando que queremos p>0, concluímos que
El(|X|^pr)<infty Long<=ftrightarrow 0<p<1

Resposta

Os momentos absolutos de X existem (são finitos) apenas para ordens
pin(0,1)
Para p>=1, E(|X|^p)=infty.

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