Jogadores I e II têm Cr$200 cada um. Lança-se uma moeda com probabilidade
de dar cara
. Se der cara, o jogador I recebe
100
\mathrm{Cr} $ 100$ ao II. Con-
tinua-se lançando a moeda, independentemente, até um dos jogadores perder tudo, i.e., até um deles ficar com os Cr$400. Determine
, onde
é o número de lançamentos até terminar o jogo.
tinua-se lançando a moeda, independentemente, até um dos jogadores perder tudo, i.e., até um deles ficar com os Cr$400. Determine
Passo 1
O enunciado descreve um jogo de “ruína do jogador” em que o jogador I começa com Cr$
, o jogador II com Cr$
, e a cada lançamento de moeda (probabilidade
de cara e
de coroa) troca-se Cr$
de um para o outro. O jogo termina quando um dos dois chega a Cr$
(o outro fica com zero). Podemos tratar a riqueza de I em “unidades” de Cr$
, variando de
a
, com estado inicial
. Precisamos calcular
onde
é o número esperado de lançamentos até absorção a partir de
.
Passo 2
Definimos
como o número esperado de lançamentos até o fim partindo do estado
, para
. Como
e
são estados absorventes,
Para
, ao fazer um lançamento usamos a equação de recorrência de primeira passagem:
Passo 3
Reescrevendo a recorrência em forma padrão dá
A solução geral desta equação não-homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno
e
.
Passo 4
Impondo
e
achamos
e assim, em
,
Fazendo as contas (e usando
) chega-se à forma simplificada