Jogadores I e II têm Cr$200 cada um. Lança-se uma moeda com probabilidade de dar cara . Se der cara, o jogador I recebe 100 \mathrm{Cr} $ 100$ ao II. Con-
tinua-se lançando a moeda, independentemente, até um dos jogadores perder tudo, i.e., até um deles ficar com os Cr$400. Determine , onde é o número de lançamentos até terminar o jogo.

Passo 1

O enunciado descreve um jogo de “ruína do jogador” em que o jogador I começa com Cr$ (200), o jogador II com Cr, o jogador II com Cr$ 200, e a cada lançamento de moeda (probabilidade p de cara e q=1-p de coroa) troca-se Cr$ (100) de um para o outro O jogo termina quando um dos dois chega a Cr de um para o outro. O jogo termina quando um dos dois chega a Cr$ 400 (o outro fica com zero). Podemos tratar a riqueza de I em “unidades” de Cr$ 100, variando de 0 a 4, com estado inicial i=2. Precisamos calcular
E[N]=E2,
onde Ei é o número esperado de lançamentos até absorção a partir de i.

Passo 2

Definimos Ei como o número esperado de lançamentos até o fim partindo do estado i, para i=0,1,2,3,4. Como i=0 e i=4 são estados absorventes,
E0=0, E4=0
Para i=1,2,3, ao fazer um lançamento usamos a equação de recorrência de primeira passagem:
Ei=1 + p,E,i+1 + q,E,i-1

Passo 3

Reescrevendo a recorrência em forma padrão dá
p,Ei+1 - Ei + q,Ei-1 = -1
A solução geral desta equação não-homogênea é
Ei = A + Bl(qpr)^i ;+;i,q-p,,
onde A e B são constantes a determinar pelas condições de contorno E0=0 e E4=0.

Passo 4

Impondo E0=0 e E4=0 achamos
A = -,4(q-p)l(1-(tfracqp)^4r), B = -,A,
e assim, em i=2,
E2 = A + Bl(qpr)^2 ;+;2,q-p,
Fazendo as contas (e usando q=1-p) chega-se à forma simplificada
E2 =2,p^2 + q^2,

Resposta

E[N] ;=; 2,p^2 + (1-p)^2,

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