Prove que, se os eventos A e B têm probabilidade positiva e não são disjuntos, então P(A)=P(B) se è somente se P(A \mid B)=P(B \mid A).

Passo 1

O enunciado afirma que A e B são eventos tais que P(A)>0, P(B)>0 e não são disjuntos (ou seja, P(A\cap B)>0). Precisamos provar a equivalência
P(A)=P(B) \quad\Longleftrightarrow\quad P(A\mid B)=P(B\mid A).
O conteúdo principal é a definição de probabilidade condicional:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}, \qquad P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.

Passo 2

Escrevemos explicitamente as definições de probabilidade condicional, válidas porque P(A)>0 e P(B)>0:
P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},
P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Repare que P(A\cap B)>0 garante que ambas as frações são bem definidas e não nulas.

Passo 3

Suponha primeiro que P(A)=P(B). Então, usando as definições,
P(A\mid B) =\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{P(A\cap B)}{P(A)} =P(B\mid A).
Logo, P(A)=P(B) implica P(A\mid B)=P(B\mid A).

Passo 4

Agora suponha que P(A\mid B)=P(B\mid A). Então
\frac{P(A\cap B)}{P(B)} =\frac{P(A\cap B)}{P(A)}.
Como P(A\cap B)>0, podemos multiplicar ambos os lados por P(A)P(B) sem mudar o sinal ou envolver zero:
P(A\cap B)\,P(A) = P(A\cap B)\,P(B) \quad\Longrightarrow\quad P(A)=P(B).
Assim, P(A\mid B)=P(B\mid A) implica P(A)=P(B).

Resposta

Ficou demonstrado que sob as hipóteses do enunciado
P(A)=P(B) \quad\Longleftrightarrow\quad P(A\mid B)=P(B\mid A).

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