Prove que, se os eventos
e
têm probabilidade positiva e não são disjuntos, então
se è somente se
.
Passo 1
O enunciado afirma que
e
são eventos tais que
,
e não são disjuntos (ou seja,
). Precisamos provar a equivalência
O conteúdo principal é a definição de probabilidade condicional:
Passo 2
Escrevemos explicitamente as definições de probabilidade condicional, válidas porque
e
:
Repare que
garante que ambas as frações são bem definidas e não nulas.
Passo 3
Suponha primeiro que
. Então, usando as definições,
Logo,
implica
.
Passo 4
Agora suponha que
. Então
Como
, podemos multiplicar ambos os lados por
sem mudar o sinal ou envolver zero:
Assim,
implica
.
Resposta
Ficou demonstrado que sob as hipóteses do enunciado