1. Para quaisquer constantes reais a e b, se P(a \leq X \leq b)=1, então a \leq E(X) \leq b.

Passo 1

O enunciado afirma que, para constantes reais a e b, se
P(a \le X \le b) = 1,
então deve valer
a \le E(X) \le b.
O que vamos usar é a monotonicidade e a linearidade da esperança: se Y\ge0 quase certo, então E(Y)\ge0, e E é linear (isto é, E(X+c)=E(X)+c para constante c).

Passo 2

Como P(a\le X\le b)=1, temos quase certamente X\ge a. Defina
Y = X - a.
Então Y\ge0 a.s., logo pela propriedade de não negatividade
E(Y)\ge0.
Pela linearidade
E(Y) = E(X - a) = E(X) - a.
Daí
E(X) - a \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad E(X)\ge a.

Passo 3

Analogamente, de X\le b a.s. definimos
Z = b - X,
que satisfaz Z\ge0 a.s. e, pela mesma razão,
E(Z)\ge0 \quad\text{e}\quad E(Z)=E(b-X)=b - E(X).
Portanto
b - E(X)\ge0 \quad\Longrightarrow\quad E(X)\le b.

Passo 4

Reunindo E(X)\ge a e E(X)\le b, conclui-se
a \le E(X) \le b.

Resposta

a \le E(X) \le b.

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