1. A variável X\) tem a seguinte função de distribuição: \[F(x)= \begin{cases}0, & x<-1 \\\\ 1 / 2, & -1 \leq x<1 / 2 \\\\ 3 / 4, & 1 / 2 \leq x<2 \\\\ 1, & x \geq 2\end{cases}
a. Obtenha E(X)\]. b. Determine \(E([X]), em que [a] indica o maior inteiro contido em a.

Passo 1

O enunciado nos dá uma variável aleatória X\) com função de distribuição acumulada \[F(x)= \begin{cases} 0, & x< -1,\\\ \tfrac12, & -1\le x<\tfrac12,\\\ \tfrac34, & \tfrac12\le x<2,\\\\ 1, & x\ge 2, \end{cases}
e pede (a) E(X)\] e (b) \(E([X]), onde [a] é o maior inteiro contido em a. Para resolver, vamos primeiro extrair a função massa de probabilidade (pmf) de X a partir dos saltos de F e depois aplicar a definição de esperança para variáveis discretas.

Passo 2

O valor de P(X=x) é igual ao salto de F em x:
Para x=-1, o salto é
P(X=-1)=F(-1)-\lim_{t\to -1^-}F(t)=\tfrac12-0=\tfrac12.
Para x=\tfrac12, o salto é
P\bigl(X=\tfrac12\bigr)=F\bigl(\tfrac12\bigr)-\lim_{t\to (\tfrac12)^-}F(t)=\tfrac34-\tfrac12=\tfrac14.
Para x=2, o salto é
P(X=2)=F(2)-\lim_{t\to 2^-}F(t)=1-\tfrac34=\tfrac14.
Confirmamos que \tfrac12+\tfrac14+\tfrac14=1.

Passo 3

Aplicamos a definição de esperança para variável discreta:
E(X)=\sum_x x\,P(X=x) =(-1)\times\tfrac12+\tfrac12\times\tfrac14+2\times\tfrac14 =-\tfrac12+\tfrac18+\tfrac12 =\tfrac18.

Passo 4

Agora calculamos [X] para cada valor:
para X=-1, [X]=-1;
para X=\tfrac12, [X]=0;
para X=2, [X]=2.
Logo,
E([X])=\sum_x [x]\,P(X=x) =(-1)\times\tfrac12+0\times\tfrac14+2\times\tfrac14 =-\tfrac12+\tfrac12 =0.

Resposta

E(X)=\tfrac18
E([X])=0

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