- Em ensaios de Bernoulli independentes, com probabilidade
de sucesso, seja
o número de fracassos anteriores ao
-ésimo sucesso. A variável
segue o modelo Binomial Negativo de parâmetros
e
. Determine a média de
.
Passo 1
O enunciado define
como o número de fracassos até o
-ésimo sucesso em ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso
. Isso é o modelo Binomial Negativo de parâmetros
e
. Para achar a média de
, vamos usar duas ideias: (1) representar
como soma de variáveis geométricas que contam fracassos até cada sucesso e (2) aplicar expectativa e linearidade.
Passo 2
Seja
o número de fracassos até o primeiro sucesso em um ensaio de Bernoulli de parâmetro
. Então
A esperança de
é
Usamos a série conhecida
para
, tomando
. Logo,
Passo 3
O número total de fracassos até o
-ésimo sucesso pode ser visto como
onde cada
tem a mesma distribuição de
e são independentes (um bloco de fracassos antes de cada sucesso). Pela linearidade da esperança,