1. Em ensaios de Bernoulli independentes, com probabilidade p de sucesso, seja X o número de fracassos anteriores ao r-ésimo sucesso. A variável X segue o modelo Binomial Negativo de parâmetros r e p. Determine a média de X.

Passo 1

O enunciado define X como o número de fracassos até o r-ésimo sucesso em ensaios de Bernoulli independentes com probabilidade de sucesso p. Isso é o modelo Binomial Negativo de parâmetros r e p. Para achar a média de X, vamos usar duas ideias: (1) representar X como soma de variáveis geométricas que contam fracassos até cada sucesso e (2) aplicar expectativa e linearidade.

Passo 2

Seja Y o número de fracassos até o primeiro sucesso em um ensaio de Bernoulli de parâmetro p. Então
\Pr(Y=k) = (1-p)^{k}p,\quad k=0,1,2,\dots
A esperança de Y é
E[Y] = \sum_{k=0}^{\infty} k\,(1-p)^{k}p.
Usamos a série conhecida \sum_{k=0}^\infty kq^k = \frac{q}{(1-q)^2} para |q|<1, tomando q=1-p. Logo,
E[Y] = p\cdot\frac{1-p}{(1-(1-p))^2} = p\cdot\frac{1-p}{p^2} = \frac{1-p}{p}.

Passo 3

O número total de fracassos até o r-ésimo sucesso pode ser visto como
X = Y_1 + Y_2 + \cdots + Y_r,
onde cada Y_i tem a mesma distribuição de Y e são independentes (um bloco de fracassos antes de cada sucesso). Pela linearidade da esperança,
E[X] = E\bigl[Y_1 + \cdots + Y_r\bigr] = r\,E[Y] = r\;\frac{1-p}{p}.

Resposta

E[X] = \frac{r\,(1-p)}{p}.

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