De quantas maneiras podemos escolher 3 números naturais de 1 a 30 de forma que a soma seja ímpar?

Passo 1

O enunciado pede o número de maneiras de escolher 3 números distintos do conjunto \{1,2,\dots,30\} de modo que a soma dos três seja ímpar. Vamos usar combinatória básica e a propriedade de paridade de somas.

Passo 2

Para três inteiros, a soma é ímpar se e somente se o número de termos ímpares for ímpar. Como estamos escolhendo 3 números, isso significa que devemos ter exatamente 1 termo ímpar ou exatamente 3 termos ímpares.

Passo 3

Portanto, os dois casos que geram soma ímpar são os seguintes: exatamente um número ímpar e dois números pares, ou então três números ímpares.
No conjunto \{1,2,\dots,30\} há exatamente 15 números pares e 15 números ímpares.

Passo 4

Contando cada caso:
Caso “um ímpar e dois pares”
\binom{15}{1}\times \binom{15}{2} = 15 \times 105 = 1575.
Caso “três ímpares”
\binom{15}{3} = 455.

Passo 5

Somando os dois casos, o total de escolhas com soma ímpar é
1575 + 455 = 2030.

Resposta

2030

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