Quantos coquetéis (misturas de duas ou mais bebidas) podem ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos?

Passo 1

O enunciado pede o número de coquetéis possíveis formados por “duas ou mais” bebidas escolhidas entre 7 ingredientes distintos. O conteúdo usado aqui é combinação sem repetição, pois a ordem dos ingredientes na mistura não importa e não há ingredientes repetidos.

Passo 2

Para escolher exatamente k ingredientes dentre os 7 disponíveis usamos a combinação
binom7k ;=;7!k!,(7-k)!
Isso nos dá o número de maneiras de formar um coquetel com k ingredientes.

Passo 3

Como cada coquetel precisa ter pelo menos 2 ingredientes, somamos para k=2,3,dots,7:
sumk=2^7binom7k

Passo 4

Usamos a identidade da soma binomial completa e subtraímos os casos de k=0 e k=1:
sumk=0^7binom7k=2^7=128,
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sumk=2^7binom7k =128-binom70-binom71 =128-1-7 =120

Resposta

120 coquetéis distintos podem ser feitos.

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