De quantos modos se pode permutar as letras da palavra CARAVANA de forma que não existam 2 As vizinhos?

Passo 1

O enunciado pede o número de permutações da palavra “CARAVANA” (8 letras no total, com 4 letras A idênticas e 4 letras distintas C, R, V, N) sob a condição de que não haja duas letras A adjacentes. Vamos usar contagem de permutações de multiconjunto e o método das lacunas para evitar adjacência.

Passo 2

Permutamos primeiro as 4 letras não-A (C, R, V, N), todas distintas. O número de permutações dessas 4 letras é
4!

Passo 3

Para impedir que duas As fiquem juntas, inserimos as As nas lacunas formadas pelas consoantes já dispostas. Com 4 consoantes há 4+1=5 lacunas (antes da 1ª, entre elas e após a última). Como são 4 As idênticas e não podemos colocar mais de 1 A em cada lacuna, escolhemos 4 das 5 lacunas:
\binom{5}{4}

Passo 4

Pelo princípio multiplicativo, o total de permutações sem duas As adjacentes é
4! \times \binom{5}{4} = 24 \times 5 = 120.

Resposta

120

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