Seja
um vetor aleatório
- dimensional tal que
e
, e
. Se
e
,
entào prove que o coeficiente de correlação entre
e
, é igual a
entào prove que o coeficiente de correlação entre
Passo 1
Resumo do enunciado: temos um vetor aleatório
com , correlações internas
para
,
para
e correlação cruzada
para todo
. Definimos
O objetivo é encontrar
. Vamos usar as fórmulas de variância e covariância de somas de variáveis e, em seguida, a definição de coeficiente de correlação.
Passo 2
Cálculo da covariância . Como
e
, pela bilinearidade da covariância,
Mas . Logo,
Passo 3
Cálculo de . Temos
Como e para
, obtemos
Passo 4
Cálculo de . De modo análogo,
Passo 5
Definição do coeficiente de correlação:
Substituindo , e , vem
Passo 6
Simplificando a fatoração de
e
dentro da raiz, obtemos