Seja um vetor aleatório - dimensional tal que e , e . Se e ,
entào prove que o coeficiente de correlação entre e , é igual a

Passo 1

Resumo do enunciado: temos um vetor aleatório com , correlações internas para , para e correlação cruzada para todo . Definimos
O objetivo é encontrar . Vamos usar as fórmulas de variância e covariância de somas de variáveis e, em seguida, a definição de coeficiente de correlação.

Passo 2

Cálculo da covariância . Como e , pela bilinearidade da covariância,
Mas . Logo,

Passo 3

Cálculo de . Temos
Como e para , obtemos

Passo 4

Cálculo de . De modo análogo,

Passo 5

Definição do coeficiente de correlação:
Substituindo , e , vem

Passo 6

Simplificando a fatoração de m e n dentro da raiz, obtemos
rho(U,V) = m,n,rhosraizm,n;raiz,1+(m-1)rho1,;raiz,1+(n-1)rho2, = raizm,n;rhosraiz1+(m-1)rho1;raiz1+(n-1)rho2

Resposta

rho(U,V) = raizm,n,rhosraiz1+(m-1)rho1;raiz1+(n-1)rho2

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