Seja X o tempo de espera até o primeiro sucesso em uma seqüência de ensaios de Bernoulli tendo probabilidade p de sucesso em cada ensaio. Calcule E X^2.

Passo 1

O enunciado define a variável aleatória X como o número de ensaios até o primeiro sucesso em ensaios de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade de sucesso p. O conteúdo aqui é distribuição geométrica (contando o ensaio de sucesso) e cálculo de momentos de ordem superior. Para achar E[X^2], vamos usar a forma explícita da soma de uma série e também, como atalho, a relação entre variância e momentos.

Passo 2

A função massa de probabilidade de X é
P(X = k) = (1-p)^k-1,p, k=1,2,dots
Definindo q = 1-p, isso fica
P(X = k) = q^k-1p

Passo 3

Pela definição de momento de segunda ordem,
E[X^2] = sumk=1^infty k^2,P(X=k) = sumk=1^infty k^2,q^k-1p = psumk=1^infty k^2,q^k-1

Passo 4

Lembramos a série conhecida
sumk=1^infty k^2,q^k = q,(q+1)(1-q)^3,
válida para |q|<1. Logo,
sumk=1^infty k^2,q^k-1 = 1qsumk=1^infty k^2,q^k = q+1(1-q)^3
Substituindo em E[X^2]:
E[X^2] = p,q+1(1-q)^3 = p,(1-p)+1p^3 = 2-pp^2

Passo 5

Como alternativa rápida, usamos
Var(X)=1-pp^2, E[X]=1p,
e lembra-se que
E[X^2]=Var(X)+l(E[X]r)^2 =1-pp^2+1p^2 =2-pp^2

Resposta

E[X^2] = 2-pp^2

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