Seja
o tempo de espera até o primeiro sucesso em uma seqüência de ensaios de Bernoulli tendo probabilidade
de sucesso em cada ensaio. Calcule
.
Passo 1
O enunciado define a variável aleatória
como o número de ensaios até o primeiro sucesso em ensaios de Bernoulli independentes, cada um com probabilidade de sucesso
. O conteúdo aqui é distribuição geométrica (contando o ensaio de sucesso) e cálculo de momentos de ordem superior. Para achar
, vamos usar a forma explícita da soma de uma série e também, como atalho, a relação entre variância e momentos.
Passo 2
A função massa de probabilidade de
é
Definindo
, isso fica
Passo 3
Pela definição de momento de segunda ordem,
Passo 4
Lembramos a série conhecida
válida para
. Logo,
Substituindo em
:
Passo 5
Como alternativa rápida, usamos
e lembra-se que