Sejam X, Y e Z independentes com distribuiçăo comum U[0,1]. Calcule a esperança e a variância de mathscrW=(X+Y) cdot Z.

Passo 1

O enunciado define mathscrW=(X+Y)cdot Z, em que X, Y e Z são independentes com distribuição uniforme em [0,1]. Vamos usar as propriedades de esperança e variância para variáveis independentes e os resultados
E[U]=tfrac12, Var(U)=tfrac112
para Usim U[0,1].

Passo 2

Para a esperança de mathscrW usamos linearidade e independência:
E[mathscrW] = E[(X+Y),Z] = E[X+Y],E[Z]
Como E[X]=E[Y]=E[Z]=tfrac12, vem
E[X+Y]=tfrac12+tfrac12=1 e E[mathscrW]=1cdottfrac12=tfrac12

Passo 3

Para a variância aplicamos
Var(mathscrW) =E[mathscrW^2] - l(E[mathscrW]r)^2
Como (X+Y) e Z são independentes,
E[mathscrW^2] = E[(X+Y)^2,Z^2] = E[(X+Y)^2],E[Z^2]
Sabemos E[Z^2]=tfrac13. Para E[(X+Y)^2] usamos
E[(X+Y)^2] =Var(X+Y)+l(E[X+Y]r)^2 =l(tfrac112+tfrac112r)+1^2 =tfrac76
Assim
E[mathscrW^2] =tfrac76cdottfrac13 =tfrac718

Passo 4

Finalmente,
Var(mathscrW) =tfrac718-l(tfrac12r)^2 =tfrac718-tfrac14 =tfrac14-936 =tfrac536

Resposta

E[mathscrW]=tfrac12
Var(mathscrW)=tfrac536

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