Calcule se possui densidade , onde:
, se .)

Passo 1

O enunciado define uma variável contínua
e pede a esperança (\mathbb{E}[X]]. Vamos usar a definição

Passo 2

Como f(x)=0 para x<=0, a integral fica restrita a [0,infty):
E[X]=integral0^inftyx1(1+x)^2,dx

Passo 3

Para avaliar
integral0^inftyx(1+x)^2,dx
fazemos a mudança de variável t=1+x, de modo que dx=dt, x=t-1, e os limites vão de t=1 até ttoinfty. Assim,
integral0^inftyx(1+x)^2,dx =integral1^inftyt-1t^2,dt =integral1^inftyl(1t-1t^2r),dt

Passo 4

Integramos termo a termo no intervalo [1,b]:
integral1^b1t,dt=ln b, integral1^b1t^2,dt =l[-tfrac1tr]1^b =1-tfrac1b
Logo,
integral1^bl(tfrac1t-tfrac1t^2r),dt =ln b-l(1-tfrac1br) =ln b-1+tfrac1b
Ao fazer btoinfty, ln btoinfty e tfrac1bto0, de modo que a integral diverge.

Resposta

E[X]=infty

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