Seja (\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P}) um espaço de probabilidade em que \Omega=[0,1] \cap \mathbb{R}, \mathcal{F} é a \sigma álgebra de Borel e \mathcal{P} é a probabilidade uniforme (isto é, a probabilidade de um evento é o seu comprimento). Para n=1,2, \ldots defina A_{n}=\left[0,1-\frac{1}{2^{n}}\right] e B_{n}=\left[\frac{1}{4}, \frac{3}{4}-\frac{1}{2^{n}}\right]. Calcule \lim _{n \rightarrow \infty} P\left(A_{n} \cap B_{n}\right).

Passo 1

O enunciado trabalha com o espaço de probabilidade (\Omega,\mathcal{F},\mathcal{P}), onde \Omega=[0,1], \mathcal{P} é a medida de Lebesgue normalizada (probabilidade uniforme) e definimos as sequências de conjuntos
A_{n}=\Bigl[0,\,1-\tfrac1{2^{n}}\Bigr],
B_{n}=\Bigl[\tfrac14,\,\tfrac34-\tfrac1{2^{n}}\Bigr].
Queremos calcular
\lim_{n\to\infty}\mathcal{P}\bigl(A_{n}\cap B_{n}\bigr).

Passo 2

Observamos que para todo n temos
\tfrac14\ge0 \quad\text{e}\quad \tfrac34-\tfrac1{2^n}\le1-\tfrac1{2^n},
logo B_{n}\subset A_{n}. Portanto
A_{n}\cap B_{n}=B_{n}.

Passo 3

Como \mathcal{P} é a probabilidade uniforme em [0,1], temos
\mathcal{P}(B_{n})=\text{comprimento de }B_{n} =\Bigl(\tfrac34-\tfrac1{2^n}\Bigr)-\tfrac14 =\tfrac12-\tfrac1{2^n}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty, o termo \tfrac1{2^n} tende a zero, então
\lim_{n\to\infty}\mathcal{P}\bigl(A_{n}\cap B_{n}\bigr) =\lim_{n\to\infty}\Bigl(\tfrac12-\tfrac1{2^n}\Bigr) =\tfrac12.

Resposta

\displaystyle \tfrac12

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