Particulas chegam em um contador segundo um processo de Poisson com paràmetro i. Em um determinado tempo t, produz-se uma voltagem, multiplicando o número de particulas que já entraram no contador por um fator que é independente desse número e que tem densidade:
f(x)=cl 1(1+x)^2, & x >= 0 0, & x<0
Ache a probabilidade da voltagem produzida ser menor que 1.

Passo 1

O enunciado diz que o número de partículas que entrou até o tempo
e que a voltagem produzida é
onde é independente de e tem densidade
Queremos calcular (\Pr(V<1)].

Passo 2

Para usar a técnica de condicionamento, lembramos que
Pr(V<1) =sumn=0^inftyPr(N=n),Prl(X<1/nmid N=nr)
Como X é independente de N, escrevemos
Pr(V<1) =sumn=0^inftyPr(N=n),Prl(X<1/nr)

Passo 3

Primeiro, escrevemos a probabilidade de N:
Pr(N=n) =e^-i,t(i,t)^nn!, n=0,1,2,dots

Passo 4

Agora obtemos a função de distribuição acumulada de X. Para x>=0,
FX(x) =integral0^x1(1+u)^2,du =l[-11+ur]0^x =1-11+x =x1+x
Logo, para n>=1,
Prl(X<1/nr) =FX(1/n) =1/n1+1/n =1n+1,
e para n=0 temos V=0 com probabilidade 1, isto é Pr(X<infty)=1.

Passo 5

Substituindo em Pr(V<1),
Pr(V<1) =e^-i,t +sumn=1^inftye^-i,t(i,t)^nn!,1n+1 =e^-i,tsumn=0^infty(i,t)^nn!,(n+1)

Passo 6

Para calcular a série
S=sumn=0^inftyx^nn!,(n+1),
usamos a identidade
integral0^1e^x p,dp =sumn=0^inftyx^nn!integral0^1p^ndp =sumn=0^inftyx^nn!,(n+1)
Mas
integral0^1e^x p,dp =e^x-1x
Portanto com x=i,t obtemos
sumn=0^infty(i,t)^nn!,(n+1) =e^i,t-1i,t

Passo 7

Voltando a Pr(V<1),
Pr(V<1) =e^-i,t;e^i,t-1i,t =1-e^-i,ti,t

Resposta

Pr(V<1)=1-e^-i,ti,t

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