Particulas chegam em um contador segundo um processo de Poisson com paràmetro i. Em um determinado tempo , produz-se uma voltagem, multiplicando o número de particulas que já entraram no contador por um fator que é independente desse número e que tem densidade:
Ache a probabilidade da voltagem produzida ser menor que 1.
Passo 1
O enunciado diz que o número de partículas que entrou até o tempo segue um processo de Poisson com parâmetro , ou seja
e que a voltagem produzida é
onde é independente de e tem densidade
Queremos calcular .
Passo 2
Para usar a técnica de condicionamento, lembramos que
Pr(V<1) =sumn=0^inftyPr(N=n),Prl(X<1/nmid N=nr)
Como Pr(V<1) =sumn=0^inftyPr(N=n),Prl(X<1/nr) é independente de , escrevemos
Passo 3
Primeiro, escrevemos a probabilidade de Pr(N=n) =e^-i,t(i,t)^nn!, n=0,1,2,dots :
Passo 4
Agora obtemos a função de distribuição acumulada de FX(x) =integral0^x1(1+u)^2,du =l[-11+ur]0^x =1-11+x =x1+x . Para Prl(X<1/nr) =FX(1/n) =1/n1+1/n =1n+1, ,
Logo, para ,
e para temos com probabilidade 1, isto é .
Passo 5
Substituindo em Pr(V<1) =e^-i,t +sumn=1^inftye^-i,t(i,t)^nn!,1n+1 =e^-i,tsumn=0^infty(i,t)^nn!,(n+1) ,