Seja
uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro 1. Seja
fixo. Ache
e
.
Passo 1
O enunciado diz que
tem distribuição exponencial de parâmetro
, isto é, densidade
e pede duas expectativas condicionadas:
-
. -
.
Vamos usar conceitos de expectativa condicional, atomos em variáveis discretas mistas e a propriedade sem memória da exponencial.
Passo 2
Defina
. Note que
tem átomo em
com
e densidade para
igual à de
.
- Se
, o evento é equivalente a , pois só pode ocorrer quando e então . Logo
Passo 3
Para
, o evento
equivale a
. Logo
Passo 4
Calcule o integral:
Portanto
Passo 5
Agora defina
.
- Se
com , isso só ocorre quando , logo determinístico e
- Se
, o evento é . Pela propriedade sem memória de ,