Seja X uma variável aleatória com distribuição exponencial de parâmetro 1. Seja t>0 fixo. Ache E(X mid max (X, t)) e E(X mid min (X, t)).

Passo 1

O enunciado diz que X tem distribuição exponencial de parâmetro 1, isto é, densidade
fX(x)=e^-x, x>=0,
e pede duas expectativas condicionadas:
  1. El(Xmid max(X,t)r).
  2. El(Xmid min(X,t)r).
    Vamos usar conceitos de expectativa condicional, atomos em variáveis discretas mistas e a propriedade sem memória da exponencial.

Passo 2

Defina M=max(X,t). Note que M tem átomo em m=t com P(X<= t)=1-e^-t e densidade para m>t igual à de X.
  • Se m>t, o evento M=m é equivalente a X=m, pois só pode ocorrer quando X>t e então M=X. Logo
El(Xmid M=mr)=m, m>t

Passo 3

Para m=t, o evento M=t equivale a X<= t. Logo
El(Xmid M=tr) =El(Xmid X<= tr) =integral0^tx,fX(x),dxP(X<= t) =integral0^tx e^-x,dx1-e^-t

Passo 4

Calcule o integral:
integral0^tx e^-x,dx =l[-(x+1)e^-xr]0^t =1-(t+1)e^-t
Portanto
El(Xmid M=tr) =1-(t+1)e^-t1-e^-t

Passo 5

Agora defina .
  • Se com , isso só ocorre quando , logo determinístico e
  • Se , o evento é . Pela propriedade sem memória de ,

Resposta

El(Xmid max(X,t)=mr) = m,&m>t, dfrac1-(t+1)e^-t1-e^-t,&m=t,
El(Xmid min(X,t)=mr) = m,&m<t, t+1,&m=t

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