Sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tais que e Var , onde . Sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tais que , onde . Prove que , onde barXn=X1+ldots+Xnn e barYn=Y1+ldots+Ynn.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
bar Yn + raizn,bar Xn ;xrightarrowD; N(mu,sigma^2),
onde bar Xn=1nsumi=1^n Xi, bar Yn=1nsumi=1^n Yi,
os Xi são i.i.d. com E[Xi]=0, Var(Xi)=sigma^2 finita, e os Yi são i.i.d. com E[Yi]=mu.
Para resolver vamos usar três ingredientes clássicos:
O Teorema Central do Limite (TCL) para raizn,bar Xn.
A Lei Fraca dos Grandes Números (WLLN) para bar Yn.
O Teorema de Slutsky para somar uma parte que converge em probabilidade a constante e outra que converge em distribuição.
Passo 2
Aplicando o Teorema Central do Limite aos Xi, como E[Xi]=0 e Var(Xi)=sigma^2<infty, temos
raizn,barXn =1raiznsumi=1^n Xi xrightarrowDN(0,sigma^2)
Passo 3
Pela Lei Fraca dos Grandes Números, como E[Yi]=mu é finito,
barYn =1nsumi=1^n Yi xrightarrowPmu
Passo 4
Pelo Teorema de Slutsky, se AnxrightarrowPa e BnxrightarrowDB, então
An + Bn ;xrightarrowD; a + B
Aqui tomamos An=bar Yn, a=mu e Bn=raizn,bar Xn, Bsim N(0,sigma^2). Logo
bar Yn + raizn,bar Xn xrightarrowDmu + N(0,sigma^2) = N(mu,sigma^2)
Resposta
barYn+raizn,barXnxrightarrowDN(mu,sigma^2)
Probabilidade e Estatística - Barry R. James - Probabilidade: Um Curso de Nível Intermediário - 1ª Edição - Capítulo 6.6.4 - Ex. 34