Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tais que E X1=0 e Var X1=sigma^2, onde 0<sigma^2<infty. Sejam Y1, Y2, ldots variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas tais que E Y1=mu, onde mu in R. Prove que barYn+raizn barXn xrightarrowD N(mu, sigma^2), onde barXn=X1+ldots+Xnn e barYn=Y1+ldots+Ynn.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
bar Yn + raizn,bar Xn ;xrightarrowD; N(mu,sigma^2),
onde
bar Xn=1nsumi=1^n Xi,
bar Yn=1nsumi=1^n Yi,
os Xi são i.i.d. com E[Xi]=0, Var(Xi)=sigma^2 finita, e os Yi são i.i.d. com E[Yi]=mu.
Para resolver vamos usar três ingredientes clássicos:
  1. O Teorema Central do Limite (TCL) para raizn,bar Xn.
  2. A Lei Fraca dos Grandes Números (WLLN) para bar Yn.
  3. O Teorema de Slutsky para somar uma parte que converge em probabilidade a constante e outra que converge em distribuição.

Passo 2

Aplicando o Teorema Central do Limite aos Xi, como E[Xi]=0 e Var(Xi)=sigma^2<infty, temos
raizn,barXn =1raiznsumi=1^n Xi xrightarrowDN(0,sigma^2)

Passo 3

Pela Lei Fraca dos Grandes Números, como E[Yi]=mu é finito,
barYn =1nsumi=1^n Yi xrightarrowPmu

Passo 4

Pelo Teorema de Slutsky, se AnxrightarrowPa e BnxrightarrowDB, então
An + Bn ;xrightarrowD; a + B
Aqui tomamos An=bar Yn, a=mu e Bn=raizn,bar Xn, Bsim N(0,sigma^2). Logo
bar Yn + raizn,bar Xn xrightarrowDmu + N(0,sigma^2) = N(mu,sigma^2)

Resposta

barYn+raizn,barXnxrightarrowDN(mu,sigma^2)

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