Calcule E X^3 e E X^4, onde X sim N(mu, sigma^2). (Sugestão. Calcule primeiro para a N(0,1) e use linearidade.)

Passo 1

O enunciado pede para calcular as terceiras e quartas potências médias de uma variável aleatória X com distribuição normal N(mu,sigma^2). O truque é primeiro achar
E[Z^3] e E[Z^4] para ZsimN(0,1), usando a simetria e conhecendo que E[Z^2]=1. Em seguida, escrevemos X=mu+sigma Z e usamos linearidade e expansão binomial.

Passo 2

Para ZsimN(0,1) a densidade é simétrica em torno de zero, logo todos os momentos de ordem ímpar são nulos. Assim
E[Z^3]=0
Para o quarto momento, sabemos (ou podemos calcular via função geradora de momentos) que
E[Z^4]=3

Passo 3

Agora escrevemos
X=mu+sigma Z
e expandimos a terceira potência:
X^3=(mu+sigma Z)^3 =mu^3+3mu^2sigma Z+3musigma^2Z^2+sigma^3Z^3
Tomando esperança e usando E[Z]=0, E[Z^2]=1, E[Z^3]=0, obtemos
E[X^3] =mu^3+3musigma^2

Passo 4

De modo análogo, expandimos a quarta potência:
X^4=(mu+sigma Z)^4 =mu^4+4mu^3sigma Z+6mu^2sigma^2Z^2+4musigma^3Z^3+sigma^4Z^4
Tomando esperança e usando E[Z]=0, E[Z^2]=1, E[Z^3]=0, E[Z^4]=3, vem
E[X^4] =mu^4+6mu^2sigma^2+3sigma^4

Resposta

E[X^3]=mu^3+3musigma^2
E[X^4]=mu^4+6mu^2sigma^2+3sigma^4

Exercícios de Livros Relacionados