Calcule
e
, onde
. (Sugestão. Calcule primeiro para a
e use linearidade.)
Passo 1
O enunciado pede para calcular as terceiras e quartas potências médias de uma variável aleatória
com distribuição normal
. O truque é primeiro achar
e
para
, usando a simetria e conhecendo que
. Em seguida, escrevemos
e usamos linearidade e expansão binomial.
Passo 2
Para
a densidade é simétrica em torno de zero, logo todos os momentos de ordem ímpar são nulos. Assim
Para o quarto momento, sabemos (ou podemos calcular via função geradora de momentos) que
Passo 3
Agora escrevemos
e expandimos a terceira potência:
Tomando esperança e usando
,
,
, obtemos
Passo 4
De modo análogo, expandimos a quarta potência:
Tomando esperança e usando
,
,
,
, vem