Cem mil passas são misturadas em uma massa que posteriormente será dividida em partes iguais para fazer dois mil bolos tipo inglès. Mais tarde, um bolo será escolhido ao acaso e será contado o número de passas contidas nele.
(a) Explique porque vocè pode modelar esse experimento utilizando a distribuição de Poisson. Qual o paràmetro?
(b) O modelo em (a) é uma aproximação. Qual seria a distribuição exata do resultado do experimento?
(c) Qual a probabilidade de não encontrar passa alguma no bolo, segundo cada um dos dois modelos? As duas probabilidades săo realmente aproximadamente iguais?

Passo 1

O enunciado diz que temos 100,000 passas misturadas uniformemente numa massa que será dividida em 2000 porções iguais (bolos). Em seguida, escolhemos um bolo ao acaso e contamos o número de passas nele. O conteúdo envolve modelos de contagem discreta (Binomial e Poisson) e aproximações assintóticas.

Passo 2

Modelagem exata: cada uma das 100,000 passas tem probabilidade igual de 1/2000 de cair no bolo escolhido, de modo que o número X de passas nesse bolo é
X sim Binomiall(n=100,000,;p=tfrac12000r)

Passo 3

Como n é grande e p é pequeno, podemos usar a aproximação de Poisson. O parâmetro é
lambda = n,p = 100,000 times tfrac12000 = 50,
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X approx Poisson(lambda=50)

Passo 4

Probabilidade de não haver passa no bolo segundo o modelo de Poisson:
P(X=0) = e^-lambda = e^-50

Passo 5

Probabilidade de não haver passa segundo o modelo exato Binomial:
P(X=0) = (1-p)^n = l(1 - tfrac12000r)^100,000 = (0,9995)^100,000

Passo 6

Avaliação numérica:
e^-50approx 1,93times10^-22,
(0,9995)^100,000 = expl(100,000ln(0,9995)r)approx exp(-50,0125)approx 1,92times10^-22
A diferença é da ordem de 1,3%, ou seja, as duas probabilidades são praticamente iguais.

Resposta

(a) Pode usar Poisson porque temos muitos ensaios independentes ( n=100,000) com p pequeno ( 1/2000), e np moderado. O parâmetro é lambda=50.
(b) A distribuição exata é Binomial l(100,000,1/2000r).
(c)
  • Poisson: P(X=0)=e^-50approx1,93times10^-22.
  • Binomial: l(1-tfrac12000r)^100,000approx1,92times10^-22.
    As duas são virtualmente iguais.

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