Cem mil passas são misturadas em uma massa que posteriormente será dividida em partes iguais para fazer dois mil bolos tipo inglès. Mais tarde, um bolo será escolhido ao acaso e será contado o número de passas contidas nele.
(a) Explique porque vocè pode modelar esse experimento utilizando a distribuição de Poisson. Qual o paràmetro?
(b) O modelo em (a) é uma aproximação. Qual seria a distribuição exata do resultado do experimento?
(c) Qual a probabilidade de não encontrar passa alguma no bolo, segundo cada um dos dois modelos? As duas probabilidades săo realmente aproximadamente iguais?
(a) Explique porque vocè pode modelar esse experimento utilizando a distribuição de Poisson. Qual o paràmetro?
(b) O modelo em (a) é uma aproximação. Qual seria a distribuição exata do resultado do experimento?
(c) Qual a probabilidade de não encontrar passa alguma no bolo, segundo cada um dos dois modelos? As duas probabilidades săo realmente aproximadamente iguais?
Passo 1
O enunciado diz que temos
passas misturadas uniformemente numa massa que será dividida em
porções iguais (bolos). Em seguida, escolhemos um bolo ao acaso e contamos o número de passas nele. O conteúdo envolve modelos de contagem discreta (Binomial e Poisson) e aproximações assintóticas.
Passo 2
Modelagem exata: cada uma das
passas tem probabilidade igual de
de cair no bolo escolhido, de modo que o número
de passas nesse bolo é
Passo 3
Como
é grande e
é pequeno, podemos usar a aproximação de Poisson. O parâmetro é
logo
Passo 4
Probabilidade de não haver passa no bolo segundo o modelo de Poisson:
Passo 5
Probabilidade de não haver passa segundo o modelo exato Binomial:
Passo 6
Avaliação numérica:
A diferença é da ordem de
, ou seja, as duas probabilidades são praticamente iguais.
Resposta
(a) Pode usar Poisson porque temos muitos ensaios independentes (
) com
pequeno (
), e
moderado. O parâmetro é
.
(b) A distribuição exata é Binomial .
(c)
(b) A distribuição exata é Binomial
(c)
- Poisson:
. - Binomial:
.
As duas são virtualmente iguais.