Sejam
e
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que temos duas variáveis aleatórias em hierarquia: primeiro
segue distribuição exponencial com parâmetro 1, ou seja
e, dado
, a variável
é condicionada como uma Poisson de parâmetro
:
Queremos achar a distribuição marginal de
, isto é,
Para isso, vamos usar a lei da probabilidade total e um cálculo de integral que envolve a função gama.
Passo 2
Pela lei da probabilidade total,
Passo 3
Substituindo as expressões de
e de
, obtemos
Passo 4
O integral
é um caso particular da função gama, pois para inteiro
e
vale
Aqui temos
, logo
Passo 5
Voltando à expressão de
,