1. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com densidade U_{c}(1, \beta), \beta>1. Calcule E[\min (X, Y) \times \max (X, Y)].

Passo 1

O enunciado dá duas v.a. X e Y independentes com distribuição uniforme contínua em [1,\beta], \beta>1, e pede
E\bigl[\min(X,Y)\times\max(X,Y)\bigr].
O que usaremos é uma identidade algébrica entre \min e \max e a propriedade de independência para calcular esperanças.

Passo 2

Note que, para quaisquer números x,y, vale
\min(x,y)\,\max(x,y)=x\,y.
Logo
\min(X,Y)\times\max(X,Y)=X\,Y.

Passo 3

Como X e Y são independentes, a esperança do produto fatoriza-se:
E[X\,Y]=E[X]\,E[Y].

Passo 4

Para uma v.a. X\sim U(1,\beta) temos
E[X]=\frac{1+\beta}{2}.
O mesmo vale para Y.

Passo 5

Substituindo em E[X]\,E[Y] resulta
E\bigl[\min(X,Y)\times\max(X,Y)\bigr] =E[X]\,E[Y] =\Bigl(\frac{1+\beta}{2}\Bigr)^{2}.

Resposta

\Bigl(\tfrac{1+\beta}{2}\Bigr)^{2}.

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