1. A função mista de probabilidade conjunta de X\) e \(Y\) é dada por: \[f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y^{x-1}}{3}, & \text { se } x=1,2,3 \text { e } 0 \leq y \leq 1 \\\\ 0, & \text { caso contrário }\end{cases}
a. Obtenha E(X+Y)\]. b. Determine \(E(X Y).

Passo 1

O enunciado define uma distribuição mista conjunta de (X,Y)\) com \[f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y^{\,x-1}}{3},&x\in\{1,2,3\},\;0\le y\le1,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Queremos calcular E(X+Y)\] e \(E(XY). Para isso usamos:
  1. A propriedade linear E(X+Y)=E(X)+E(Y).
  2. A definição de esperança para variáveis mistas
E[g(X,Y)] =\sum_{x=1}^{3}\int_{0}^{1}g(x,y)\,f(x,y)\,dy.

Passo 2

Calculamos primeiro a marginal de X:
P(X=x) =\int_{0}^{1}f(x,y)\,dy =\int_{0}^{1}\frac{x\,y^{x-1}}{3}\,dy =\frac{x}{3}\,\frac{1}{x} =\frac{1}{3}, \quad x=1,2,3.
Logo X é uniforme em \{1,2,3\} e
E(X) =\sum_{x=1}^{3}x\,P(X=x) =\frac{1+2+3}{3} =2.

Passo 3

Agora calculamos E(Y):
E(Y) =\sum_{x=1}^{3}\int_{0}^{1}y\;f(x,y)\,dy =\sum_{x=1}^{3}\int_{0}^{1}y\;\frac{x\,y^{x-1}}{3}\,dy =\sum_{x=1}^{3}\frac{x}{3}\int_{0}^{1}y^{x}\,dy =\sum_{x=1}^{3}\frac{x}{3(x+1)}.
Calculando termo a termo:
\frac{1}{3\cdot2}+\frac{2}{3\cdot3}+\frac{3}{3\cdot4} =\frac{1}{6}+\frac{2}{9}+\frac{1}{4} =\frac{23}{36}.

Passo 4

Com E(X)=2 e E(Y)=\tfrac{23}{36}, temos
E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2+\frac{23}{36}=\frac{95}{36}.

Passo 5

Finalmente, calculamos
E(XY) =\sum_{x=1}^{3}\int_{0}^{1}x\,y\;f(x,y)\,dy =\sum_{x=1}^{3}\int_{0}^{1}\frac{x^{2}\,y^{x}}{3}\,dy =\sum_{x=1}^{3}\frac{x^{2}}{3(x+1)}.
Calculando cada termo:
\frac{1}{3\cdot2}+\frac{4}{3\cdot3}+\frac{9}{3\cdot4} =\frac{1}{6}+\frac{4}{9}+\frac{3}{4} =\frac{49}{36}.

Resposta

E(X+Y)=\displaystyle\frac{95}{36}.
E(XY)=\displaystyle\frac{49}{36}.

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