1. O vetor aleatório ( X, Y ) tem densidade uniforme, no triângulo ( 0,0 ), ( 0,1 ) e (1,0). Obtenha E(X), E(Y) e E(X Y).

Passo 1

O enunciado diz que o vetor aleatório (X,Y) é uniformemente distribuído no triângulo com vértices (0,0), (0,1) e (1,0). Precisamos usar a definição de valor esperado para variáveis contínuas, isto é,
E[g(X,Y)] = \iint_{\text{região}} g(x,y)\,f(x,y)\,dx\,dy,ã
onde f(x,y) é a densidade conjunta.

Passo 2

Como a distribuição é uniforme no triângulo de área \tfrac12, a densidade conjunta é constante \,f(x,y)=c no triângulo e zero fora. Da condição de normalização,
1 = \iint_{\text{triângulo}} c\,dx\,dy = c\cdot \frac12 \quad\Longrightarrow\quad c = 2.â
Logo,
f(x,y) = \begin{cases} 2, & x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1,\\\\ 0, & \text{caso contrário.} \end{cases}á

Passo 3

Calculando E(X):
E(X) = \iint_{\text{triângulo}} x\,f(x,y)\,dx\,dy = 2 \iint_{x\ge0,\;y\ge0,\;x+y\le1} x\,dx\,dy.â
Usando a ordem x de 0 a 1 e y de 0 a 1-x,
E(X) = 2 \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} x\,dy\,dx = 2 \int_{0}^{1} x\,(1-x)\,dx = 2\Bigl[\tfrac12 x^2 - \tfrac13 x^3\Bigr]_{0}^{1} = 2\bigl(\tfrac12 - \tfrac13\bigr) = \tfrac13.

Passo 4

Pela simetria entre X e Y (o triângulo é simétrico na troca de eixos), obtemos diretamente
E(Y) = E(X) = \tfrac13.

Passo 5

Agora E(XY):
E(XY) = \iint_{\text{triângulo}} x\,y\,f(x,y)\,dx\,dy = 2 \int_{x=0}^{1}\!\int_{y=0}^{1-x} x\,y\,dy\,dx.â
Calculando a integral interna,
\int_{0}^{1-x} x\,y\,dy = x\,\Bigl[\tfrac12 y^2\Bigr]_{0}^{1-x} = \tfrac12\,x\,(1-x)^2.
Então
E(XY) = 2 \int_{0}^{1} \tfrac12\,x\,(1-x)^2\,dx = \int_{0}^{1} x\,(1-x)^2\,dx = \int_{0}^{1} (x - 2x^2 + x^3)\,dx = \Bigl[\tfrac12 x^2 - \tfrac23 x^3 + \tfrac14 x^4\Bigr]_{0}^{1} = \tfrac12 - \tfrac23 + \tfrac14 = \tfrac1{12}.

Resposta

E (X) = \tfrac13,
E (Y) = \tfrac13,
E (X\,Y) = \tfrac1{12}.

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