Sejam
e
variáveis aleatórias independentes com distribuição comum
, e sejam
. Calcule o coeficiente de correlação
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são independentes e
. Definimos
e queremos o coeficiente de correlação
Para isso precisamos de , , , e .
Passo 2
Cálculo das esperanças usando a densidade conjunta de
, que vale
Então
Passo 3
Como é simétrico, . Podemos usar a fórmula geral para ordem
em
ou calcular
logo
O mesmo vale para .
Passo 4
Para a covariância precisamos de :
Então
Passo 5
Finalmente o coeficiente de correlação é