Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com distribuição comum U[0,1], e sejam X(1)=min (X, Y), X(2)=max (X, Y). Calcule o coeficiente de correlação rho(X(11, X(2)).

Passo 1

O enunciado diz que e são independentes e . Definimos
e queremos o coeficiente de correlação
Para isso precisamos de , , , e .

Passo 2

Cálculo das esperanças usando a densidade conjunta de , que vale
Então

Passo 3

Como é simétrico, . Podemos usar a fórmula geral para ordem em ou calcular
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O mesmo vale para .

Passo 4

Para a covariância precisamos de :
Então

Passo 5

Finalmente o coeficiente de correlação é

Resposta

rhol(X(1),X(2)r)=tfrac12.

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