Sejam X e Y variáveis aleatórias com a mesma distribuição. Demonstre:
(a) Se X e Y são independentes, então X-Y tem distribuição simetrica em torno de zero.
(b) Se X e Y tomam só dois valores, então X-Y tem distribuição simétrica em torno de zero.

Passo 1

O enunciado diz que X e Y têm a mesma distribuição e pede para mostrar que a diferença X-Y é simétrica em torno de zero:
(a) quando X e Y são independentes;
(b) quando X e Y só assumem dois valores (sem assumir independência).
Vamos usar, no caso (a), a ideia de convolução de densidades (ou funções de massa) e, no caso (b), um cálculo direto de probabilidades explorando que P(X=a)=P(Y=a).

Passo 2

Item (a): suponha que X e Y sejam independentes e tenham função densidade (ou massa) fX=fY. A densidade de Z=X-Y é dada por convolução
fZ(z) =integral-infty^inftyfX(y+z),fY(y),dy =integral-infty^inftyfX(y+z),fX(y),dy

Passo 3

Agora calcule a densidade em -z:
fZ(-z) =integral-infty^inftyfX(y-z),fX(y),dy
Façamos a mudança de variável u=y-z. Como y varia em R, u também varia em R e dy=du. Obtemos
fZ(-z) =integral-infty^inftyfX(u),fX(u+z),du =integral-infty^inftyfX(y+z),fX(y),dy = fZ(z)

Passo 4

Como fZ(z)=fZ(-z) para todo z, a densidade de Z=X-Y é uma função par, e isso equivale a dizer que X-Y tem distribuição simétrica em torno de zero. Logo o item (a) está demonstrado.

Passo 5

Item (b): suponha que X e Y só podem assumir dois valores, digamos a e b. Como têm a mesma distribuição,
P(X=a)=P(Y=a)=p, P(X=b)=P(Y=b)=1-p
Então a variável T=X-Y só pode tomar três valores:
T=a-b, T=0, T=b-a

Passo 6

Calcule as probabilidades não nulas de Tneq0:
P(T=a-b)=P(X=a,Y=b), P(T=b-a)=P(X=b,Y=a)
Agora escreva
P(X=a,Y=b) =P(X=a)-P(X=a,Y=a) =p - r,
onde r=P(X=a,Y=a), e
P(X=b,Y=a) =P(Y=a)-P(X=a,Y=a) =p - r
Assim
P(T=a-b)=p-r e P(T=b-a)=p-r,
logo essas duas massas são iguais. Para T=0 não há contrapartida fora de zero, mas o que importa para simetria é que cada valor dneq0 tenha mesma probabilidade que -d. Concluímos que T=X-Y é simétrica em torno de zero também no caso (b).

Resposta

(a) Demonstrado via convolução que fX-Y(z)=fX-Y(-z), logo X-Y é simétrico em torno de zero quando X e Y são independentes.
(b) Mesmo sem independência, se X e Y só tomam dois valores e têm a mesma lei, então P(X-Y=d)=P(X-Y=-d) para dneq0, logo X-Y é simétrico em torno de zero.

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