Sejam
e
variáveis aleatórias com a mesma distribuição. Demonstre:
(a) Se
e
são independentes, então
tem distribuição simetrica em torno de zero.
(b) Se
e
tomam só dois valores, então
tem distribuição simétrica em torno de zero.
(a) Se
(b) Se
Passo 1
O enunciado diz que
e
têm a mesma distribuição e pede para mostrar que a diferença
é simétrica em torno de zero:
(a) quando e
são independentes;
(b) quando e
só assumem dois valores (sem assumir independência).
Vamos usar, no caso (a), a ideia de convolução de densidades (ou funções de massa) e, no caso (b), um cálculo direto de probabilidades explorando que .
(a) quando
(b) quando
Vamos usar, no caso (a), a ideia de convolução de densidades (ou funções de massa) e, no caso (b), um cálculo direto de probabilidades explorando que
Passo 2
Item (a): suponha que
e
sejam independentes e tenham função densidade (ou massa)
. A densidade de
é dada por convolução
Passo 3
Agora calcule a densidade em
:
Façamos a mudança de variável
. Como
varia em
,
também varia em
e
. Obtemos
Passo 4
Como
para todo
, a densidade de
é uma função par, e isso equivale a dizer que
tem distribuição simétrica em torno de zero. Logo o item (a) está demonstrado.
Passo 5
Item (b): suponha que
e
só podem assumir dois valores, digamos
e
. Como têm a mesma distribuição,
Então a variável
só pode tomar três valores:
Passo 6
Calcule as probabilidades não nulas de
:
Agora escreva
onde
, e
Assim
logo essas duas massas são iguais. Para
não há contrapartida fora de zero, mas o que importa para simetria é que cada valor
tenha mesma probabilidade que
. Concluímos que
é simétrica em torno de zero também no caso (b).
Resposta
(a) Demonstrado via convolução que
, logo
é simétrico em torno de zero quando
e
são independentes.
(b) Mesmo sem independência, se e
só tomam dois valores e têm a mesma lei, então
para
, logo
é simétrico em torno de zero.
(b) Mesmo sem independência, se