Sejam
variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas, com
e
. Ache o limite em distribuição das seguintes seqüências:
, onde
.
Passo 1
O enunciado dá variáveis aleatórias
i.i.d. com
e define
Queremos encontrar o limite em distribuição de
quando
. Vamos usar o Teorema do Limite Central, a Lei dos Grandes Números e o Teorema de Slutsky.
Passo 2
Definimos
Pelo Teorema do Limite Central,
Passo 3
Pela Lei dos Grandes Números,
Passo 4
Reescrevemos
como
Aqui
converge em distribuição e
converge em probabilidade para a constante
. Pelo Teorema de Slutsky,
Resposta
O limite em distribuição de
é
.