Sejam X1, X2, ldots variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuidas, com E X1=0 e E X1^2=2. Ache o limite em distribuição das seguintes seqüências:
Y1, Y2, ldots, onde Yn=raizn(X1+ldots+Xn)X1^2+ldots+Xn^2.

Passo 1

O enunciado dá variáveis aleatórias X1,X2,dots i.i.d. com
E[X1]=0, E[X1^2]=2
e define
Yn=raizn,(X1+cdots+Xn)X1^2+cdots+Xn^2
Queremos encontrar o limite em distribuição de Yn quando ntoinfty. Vamos usar o Teorema do Limite Central, a Lei dos Grandes Números e o Teorema de Slutsky.

Passo 2

Definimos
Sn=X1+cdots+Xn, Qn=X1^2+cdots+Xn^2
Pelo Teorema do Limite Central,
Snraizn xrightarrowd Nl(0,;E[X1^2]r) = N(0,2)

Passo 3

Pela Lei dos Grandes Números,
Qnn xrightarrowp E[X1^2] = 2

Passo 4

Reescrevemos Yn como
Yn = raizn,SnQn = Sn/raizn,Qn/n,
Aqui Snraizn converge em distribuição e Qnn converge em probabilidade para a constante 2neq0. Pelo Teorema de Slutsky,
Yn xrightarrowd N(0,2)2 = N!l(0,tfrac24r) = Nl(0,tfrac12r)

Resposta

O limite em distribuição de Yn é Nl(0,tfrac12r).

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