(Generalização da Proposição 6.3.) (a) Demonstre que se X1, X2, ldots e X tomam somente os valores x1, x2, ldots, então convergência pontual das funções de probabilidade implica convergencia em distribuição, i.e., demonstre que se sumk p(xk)=1= =sumk pn(xk). forall n e pn(xk) xrightarrow[n infty] p(xk), forall k, então Xn xrightarrowD X.
(Sugestão. Para varepsilon>0, escoiha N tal que sumk=1^N p(xk)>1-varepsilon e conclua que para n suficientemente grande, e todo x in R.
-2 varepsilon+FX(x)<-varepsilon+sumk <= N: xk <= x p(xk)<Fxk(x)< <2 varepsilon+sumk <= N: xk <= x p(xk) <= 2 varepsilon+FX(x) )
(b) Demonstre que vale a reciproca de (a) se os pontos xk são isolados, i.e., se para todo k existe um intervalo aberto (ak, bk) que contérn xk e não contérm outro xj

Passo 1

O enunciado trata de variáveis aleatórias discretas Xn e X que só assumem valores em xkk=1^infty. Denotamos por
pn(xk)=Pr(Xn=xk), p(xk)=Pr(X=xk),
com
sumk=1^infty pn(xk)=1=sumk=1^infty p(xk), e temos
pn(xk)xrightarrow[ntoinfty]p(xk), forall k
Queremos mostrar que isso implica XnxrightarrowDX, isto é,
FXn(x);xrightarrow[ntoinfty];FX(x)
para todo ponto x de continuidade de FX.

Passo 2

Como sumk=1^infty p(xk)=1, dado varepsilon>0 existe N tal que
sumk=1^N p(xk)>1-varepsilon
Pela convergência ponto a ponto dos pn, para k=1,2,dots,N podemos escolher n suficientemente grande de modo que
|pn(xk)-p(xk)|<varepsilonN Longrightarrow l|sumk=1^N pn(xk)-sumk=1^N p(xk)r|<varepsilon
Logo, para tais n,
sumk=1^N pn(xk) > sumk=1^N p(xk)-varepsilon > 1-2varepsilon,
ou seja, a “cauda” dos pn satisfaz
sumk>Npn(xk)<2varepsilon

Passo 3

Fixo . Escrevo
Para o segundo somatório vale
.
Para o primeiro, como são no máximo termos,
com . Assim

Passo 4

Agora note que
e o segundo termo é . Combinando tudo:
para suficientemente grande e todo . Como era arbitrário, . Portanto .

Passo 5

Suponha agora que Xn xrightarrowD X e que cada xk é isolado, i.e.\ existe um intervalo aberto l(ak,bkr) contendo somente xk dentre todos os xj. Então para cada k os extremos ak e bk são pontos de continuidade de FX, e
pn(xk) =Pr(Xn=xk) =FXn(bk^-)-FXn(ak)
Pela convergência em distribuição temos
limntoinfty FXn(bk^-)=FX(bk^-)
e
limntoinfty FXn(ak)=FX(ak) . Logo
limntoinfty pn(xk) =FX(bk^-)-FX(ak) =Pr(X=xk) =p(xk)

Resposta

(a) Se pn(xk)to p(xk) ponto a ponto e as somas valem 1, então XnxrightarrowDX.
(b) Se além disso os xk são isolados, da convergência em distribuição segue pn(xk)to p(xk) para todo k.

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