Seja varphi uma função característica. Mostre que psi(t)=e^lambda i(t)-1), onde lambda>0, também é função característica. (Sugestão. Sejam N, X1, X2, ldots independentes tais que N sim Poisson ( lambda ) e as Xn são identicamente distribuidas com varphiXn=varphi. Defina Y=SN, onde Sn=X1+ldots+Xn ; N é um “tempo de parada” para a seqüência de somas parciais. Então varphiY=psi. A distribuição de Y é chamada distribuição composta de Poisson. A distribuição comum de Poisson corresponde ao caso Xn=1, i.e., P(Xn=1)=1.)

Passo 1

O enunciado diz que varphi é função característica de alguma v.a. X e pede para mostrar que
psi(t)=e^lambdal(varphi(t)-1r), lambda>0,
também é função característica. Para isso, vamos construir uma v.a. Y cuja função característica seja exatamente psi. A sugestão indica usar uma soma composta com um tempo de parada N que segue Poisson.

Passo 2

Definimos:
N e (Xn)n>=1 independentes;
NsimPois(lambda), isto é,
P(N=n)=e^-lambdalambda^nn!, n=0,1,2,dots;
– cada Xn tem função característica varphiXn(t)=varphi(t).
Então definimos a soma parcial
Sn=X1+cdots+Xn,
com S0=0, e a soma composta
Y=SN

Passo 3

Queremos calcular
varphiY(t)=El[e^,i t Yr]
Usamos a lei da expectativa condicionada em N:
varphiY(t) =El[El[e^,i t SNm|Nr]r]
Para um valor fixo N=n, como os Xk são independentes e identicamente distribuídos,
El[e^,i t Snr] =El[e^,i t X1r]cdots El[e^,i t Xnr] =varphi(t)^n
Logo
varphiY(t) =El[varphi(t)^Nr]

Passo 4

Sabemos que, para NsimPois(lambda) e qualquer número complexo z, vale
El[z^Nr] =sumn=0^inftyz^ne^-lambdalambda^nn! =e^-lambda,e^lambda z =e^lambda(z-1)
Aqui escolhemos z=varphi(t). Assim
varphiY(t) =El[varphi(t)^Nr] =e^lambdal(varphi(t)-1r)

Passo 5

Concluímos que
varphiY(t) =e^lambdal(varphi(t)-1r) =psi(t),
ou seja, psi é de fato a função característica da v.a. Y. Portanto psi é função característica.

Resposta

psi(t)=e^lambda(varphi(t)-1) é função característica, pois coincide com varphiY(t) de Y=SN no modelo de soma composta de Poisson.

Exercícios de Livros Relacionados