Seja uma função característica. Mostre que , onde , também é função característica. (Sugestão. Sejam independentes tais que Poisson ( ) e as são identicamente distribuidas com . Defina , onde é um “tempo de parada” para a seqüência de somas parciais. Então . A distribuição de é chamada distribuição composta de Poisson. A distribuição comum de Poisson corresponde ao caso , i.e., .)
Passo 1
O enunciado diz que é função característica de alguma v.a. e pede para mostrar que
também é função característica. Para isso, vamos construir uma v.a. cuja função característica seja exatamente . A sugestão indica usar uma soma composta com um tempo de parada que segue Poisson.
Passo 2
Definimos:
– e independentes;
– , isto é,
– cada tem função característica .
Então definimos a soma parcial
com , e a soma composta
Passo 3
Queremos calcular
Usamos a lei da expectativa condicionada em :
Para um valor fixo N=n, como os Xk são independentes e identicamente distribuídos,
El[e^,i t Snr] =El[e^,i t X1r]cdots El[e^,i t Xnr] =varphi(t)^n
Logo
varphiY(t) =El[varphi(t)^Nr]
Passo 4
Sabemos que, para NsimPois(lambda) e qualquer número complexo z, vale
El[z^Nr] =sumn=0^inftyz^ne^-lambdalambda^nn! =e^-lambda,e^lambda z =e^lambda(z-1)